Exercício 25 Calcule as integrais ∬_{B} f(x, y) d x d y. Faça um esboço da região de integração.
f(x, y)=e^{y^{2}+2 x^{2}} e B: 2 x^{2}+y^{2} \leq 9.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede isto:
  • Função a integrar: f(x,y)=e^{y^{2}+2x^{2}}.
  • Região de integração: B:\;2x^{2}+y^{2}\leq 9.
  • Pedidos:
    1. Calcular a integral dupla \iint_{B} f(x,y)\,dx\,dy.
    2. Fazer um esboço (descrição) da região B.

Passo 2

Observação útil (reparando um padrão): a função no expoente é exatamente a forma quadrática que define a região: y^{2}+2x^{2} é muito parecida com 2x^{2}+y^{2}. Para explorar isso, é conveniente fazer uma mudança de escala que transforme a elipse 2x^{2}+y^{2}=9 num círculo. Defina novas variáveis lineares
u=\sqrt{2}\,x,\qquad v=y.
Vamos ver o que acontece com a região e com a função ao trocar (x,y) por (u,v).

Passo 3

Como u=\sqrt{2}x e v=y, as expressões inversas são
x=\frac{u}{\sqrt{2}},\qquad y=v.
Substituindo na equação da fronteira da região:
2x^{2}+y^{2}=2\left(\frac{u}{\sqrt{2}}\right)^{2}+v^{2}=2\cdot\frac{u^{2}}{2}+v^{2}=u^{2}+v^{2}.
Logo a região B em coordenadas (u,v) fica
u^{2}+v^{2}\leq 9,
isto é, um disco de raio 3 centrado na origem no plano (u,v).

Passo 4

Calcular o jacobiano da transformação (u,v)\mapsto(x,y). A matriz do mapeamento inverso (u,v)\mapsto(x,y) é
\begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v}\\[4pt] \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & 0\\[4pt] 0 & 1 \end{pmatrix}.
O determinante (valor absoluto do jacobiano) é
\left|\det\right|=\frac{1}{\sqrt{2}}.
Portanto a área elementar transforma-se como
dx\,dy=\frac{1}{\sqrt{2}}\,du\,dv.]

Passo 5

Ver como a função fica em (u,v). Substituindo x=\dfrac{u}{\sqrt{2}} e y=v em y^{2}+2x^{2} obtemos
y^{2}+2x^{2}=v^{2}+2\left(\frac{u}{\sqrt{2}}\right)^{2}=v^{2}+u^{2}=u^{2}+v^{2}.
Portanto a integranda fica e^{u^{2}+v^{2}}. Assim a integral original vira
\iint_{B} e^{y^{2}+2x^{2}}\,dx\,dy = \iint_{u^{2}+v^{2}\le 9} e^{u^{2}+v^{2}}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\,du\,dv\right).

Passo 6

Agora é natural passar para coordenadas polares no plano (u,v):
u=r\cos\theta,\qquad v=r\sin\theta,
com r\ge 0 e \theta\in[0,2\pi). Em polares vale u^{2}+v^{2}=r^{2} e du\,dv = r\,dr\,d\theta. Assim
dx\,dy=\frac{1}{\sqrt{2}}\,du\,dv=\frac{1}{\sqrt{2}}\,r\,dr\,d\theta,
e a região u^{2}+v^{2}\le 9 corresponde a 0\le r\le 3, 0\le\theta\le 2\pi.

Passo 7

Escrevendo a integral em polares:
\iint_{B} e^{y^{2}+2x^{2}}\,dx\,dy = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{3} e^{r^{2}}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\,r\right)\,dr\,d\theta.
Separe as integrais (constantes fora):
= \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\int_{0}^{2\pi} d\theta\right)\left(\int_{0}^{3} r e^{r^{2}}\,dr\right).

Passo 8

Calcule cada parte:
  • Integral angular:
\int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi.
  • Integral radial: faça a substituição s=r^{2}, então ds=2r\,dr e r\,dr=\dfrac{1}{2}\,ds. Quando r vai de 0 a 3, s vai de 0 a 9. Assim
\int_{0}^{3} r e^{r^{2}}\,dr = \int_{0}^{9} \frac{1}{2} e^{s}\,ds = \frac{1}{2}\left[e^{s}\right]_{0}^{9} = \frac{1}{2}\left(e^{9}-1\right).

Passo 9

Reunindo os fatores (não repetir a resposta final ainda, apenas montar a expressão):
\iint_{B} e^{y^{2}+2x^{2}}\,dx\,dy = \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot 2\pi \cdot \frac{1}{2}\left(e^{9}-1\right).

Passo 10

Simplificando a expressão obtida no passo anterior (resultado final):
\iint_{B} e^{y^{2}+2x^{2}}\,dx\,dy = \frac{\pi}{\sqrt{2}}\left(e^{9}-1\right).

Passo 11

Esboço e descrição da região B:
  • A equação da fronteira é 2x^{2}+y^{2}=9. Dividindo por 9 obtemos
\frac{x^{2}}{9/2}+\frac{y^{2}}{9}=1.
  • Portanto a elipse tem centro na origem, semi-eixo horizontal a=\sqrt{9/2}=3/\sqrt{2} e semi-eixo vertical b=3.
  • Esboço mental: elipse com maior extensão vertical (altura 2b=6) e largura 2a=3\sqrt{2}. (Desenhe um eixo x e y, marque y=\pm 3 e x=\pm 3/\sqrt{2} e desenhe a elipse passando por esses pontos.)
Força — você chegou até aqui e fez tudo certinho; esse tipo de mudança de variável (escalar para círculo + polares) é um truque muito útil em provas.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{\sqrt{2}}\bigl(e^{9}-1\bigr)

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