Exercício 25 Calcule as integrais
. Faça um esboço da região de integração.
e
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede isto:
- Função a integrar:
. - Região de integração:
. - Pedidos:
- Calcular a integral dupla
. - Fazer um esboço (descrição) da região
.
- Calcular a integral dupla
Passo 2
Observação útil (reparando um padrão): a função no expoente é exatamente a forma quadrática que define a região:
é muito parecida com
. Para explorar isso, é conveniente fazer uma mudança de escala que transforme a elipse
num círculo. Defina novas variáveis lineares
Vamos ver o que acontece com a região e com a função ao trocar
por
.
Passo 3
Como
e
, as expressões inversas são
Substituindo na equação da fronteira da região:
Logo a região
em coordenadas
fica
isto é, um disco de raio
centrado na origem no plano
.
Passo 4
Calcular o jacobiano da transformação
. A matriz do mapeamento inverso
é
O determinante (valor absoluto do jacobiano) é
Portanto a área elementar transforma-se como
Passo 5
Ver como a função fica em
. Substituindo
e
em
obtemos
Portanto a integranda fica
. Assim a integral original vira
Passo 6
Agora é natural passar para coordenadas polares no plano
:
com
e
. Em polares vale
e
. Assim
e a região
corresponde a
,
.
Passo 7
Escrevendo a integral em polares:
Separe as integrais (constantes fora):
Passo 8
Calcule cada parte:
- Integral angular:
- Integral radial: faça a substituição
, então e . Quando vai de a , vai de a . Assim
Passo 9
Reunindo os fatores (não repetir a resposta final ainda, apenas montar a expressão):
Passo 10
Simplificando a expressão obtida no passo anterior (resultado final):
Passo 11
Esboço e descrição da região
:
- A equação da fronteira é
. Dividindo por obtemos
- Portanto a elipse tem centro na origem, semi-eixo horizontal
e semi-eixo vertical . - Esboço mental: elipse com maior extensão vertical (altura
) e largura . (Desenhe um eixo e , marque e e desenhe a elipse passando por esses pontos.)
Força — você chegou até aqui e fez tudo certinho; esse tipo de mudança de variável (escalar para círculo + polares) é um truque muito útil em provas.