Exercício 17 Calcule as integrais ∬_{B} f(x, y) d x d y. Faça um esboço da região de integração.
f(x, y)=e^{\frac{x}{y}} e B: y^{2} \leq x \leq y e 0 \leq y \leq 1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla \iint_{B} f(x,y)\,dx\,dy onde a função e a região são:
  • f(x,y)=e^{\frac{x}{y}}.
  • A região B é dada por y^{2}\le x\le y e 0\le y\le 1.
O que precisamos responder:
  1. Calcular o valor numérico da integral dupla \iint_{B} e^{\frac{x}{y}}\,dx\,dy.
  2. Fazer um esboço / descrição da região de integração.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Para cada y entre 0 e 1 temos x variando de x=y^{2} (parábola vista como função x=y^{2}) até x=y (reta x=y).
  • As curvas se intersectam quando y^{2}=y, ou seja em y=0 e y=1. Esses pontos correspondem a (x,y)=(0,0) e (1,1).

Passo 2

Esboço e descrição geométrica da região B.
  • A curva x=y^{2} é uma parábola “de lado” abrindo para a direita; quando y varia de 0 a 1, x vai de 0 a 1 seguindo essa parábola.
  • A curva x=y é a reta de 45° no primeiro quadrante; para y\in[0,1] também vai de x=0 a x=1.
  • Para 0\le y\le 1 vale y^{2}\le y, então a região B é o conjunto de pontos entre a parábola à esquerda e a reta à direita, com y entre 0 e 1. Em palavras: é a “fatia” no primeiro quadrante limitada pela parábola x=y^{2}, pela reta x=y e pelas retas horizontais y=0 e y=1.
(Esboço mental: desenhe os eixos, a reta x=y e a parábola x=y^{2}; a região fica entre elas para 0\le y\le1.)

Passo 3

Escolha da ordem de integração e escrita do integral iterado.
  • Como o enunciado já fornece x entre duas funções de y e y entre constantes, é natural usar a ordem dx\,dy.
  • Assim a integral dupla vira o iterado
\iint_{B} e^{\frac{x}{y}}\,dx\,dy = \int_{y=0}^{1}\left(\int_{x=y^{2}}^{x=y} e^{\frac{x}{y}}\,dx\right) dy.
Observação importante sobre y=0: a função e^{x/y} não está definida quando y=0 (exceto possivelmente em x=0), porém a linha y=0 tem medida zero no plano, e para integrar em y consideramos os y>0 e o limite quando y\to0^+. Portanto podemos fazer a integração em x para cada y>0 e depois integrar em y de 0 a 1 (isto é um integral improprio neste limite inferior, mas é regular porque a contribuição se comporta bem). Na prática, executar a integração para y>0 e depois avaliar o integral em y\in(0,1] funciona.

Passo 4

Calcular a integral interna \displaystyle \int_{x=y^{2}}^{x=y} e^{\frac{x}{y}}\,dx usando substituição.
  • Para integrar e^{\frac{x}{y}} em x com y fixo (e positivo), faz sentido usar a substituição
u=\frac{x}{y}.
  • Diferenciando, du=\frac{1}{y}\,dx, portanto dx=y\,du.
  • Quando x=y^{2} temos u=\dfrac{y^{2}}{y}=y. Quando x=y temos u=\dfrac{y}{y}=1.
  • Substituindo na integral interna:
\int_{x=y^{2}}^{x=y} e^{\frac{x}{y}}\,dx = \int_{u=y}^{u=1} e^{u}\, (y\,du) = y\int_{u=y}^{1} e^{u}\,du.

Passo 5

Avaliar a integral interna após substituição.
  • A primitiva de e^{u} é e^{u}. Então
y\int_{u=y}^{1} e^{u}\,du = y\bigl[e^{u}\bigr]_{u=y}^{u=1} = y\bigl(e^{1}-e^{y}\bigr).
  • Assim o integral duplo reduz-se a um integral de uma variável:
\iint_{B} e^{\frac{x}{y}}\,dx\,dy = \int_{0}^{1} y\bigl(e-e^{y}\bigr)\,dy.

Passo 6

Calcular o integral em y:
\int_{0}^{1} y\bigl(e-e^{y}\bigr)\,dy = e\int_{0}^{1} y\,dy - \int_{0}^{1} y e^{y}\,dy.
Calcular as duas parcelas separadamente.
  1. A primeira parcela:
e\int_{0}^{1} y\,dy = e\left[\frac{y^{2}}{2}\right]_{0}^{1} = e\cdot\frac{1}{2} = \frac{e}{2}.
  1. A segunda parcela \displaystyle \int_{0}^{1} y e^{y}\,dy pode ser feita por partes. Fórmula de integração por partes: se u(y) e v(y) são funções diferenciáveis, então
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
Escolhemos u=y e dv=e^{y}dy. Então du=dy e v=e^{y}. Aplicando:
\int y e^{y}\,dy = y e^{y} - \int e^{y}\,dy = y e^{y} - e^{y} + C = e^{y}(y-1)+C.
Avaliar de 0 a 1:
\int_{0}^{1} y e^{y}\,dy = \bigl[e^{y}(y-1)\bigr]_{0}^{1} = e^{1}(1-1) - e^{0}(0-1) = 0 - ( -1) = 1.

Passo 7

Juntar os resultados:
\iint_{B} e^{\frac{x}{y}}\,dx\,dy = \frac{e}{2} - 1.
Comentário final de interpretação: o resultado é um número positivo, pois \dfrac{e}{2}\approx 1{,}359 e \dfrac{e}{2}-1\approx 0{,}359. A técnica usada foi transformar o integral duplo em um iterado conveniente dx\,dy, usar substituição para simplificar a integral em x e depois integração por partes para a integral em y.

Resposta

\dfrac{e}{2}-1

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