Exercício 17 Calcule as integrais
. Faça um esboço da região de integração.
e
e
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
onde a função e a região são:
-
. - A região
é dada por e .
O que precisamos responder:
- Calcular o valor numérico da integral dupla
. - Fazer um esboço / descrição da região de integração.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Para cada
entre e temos variando de (parábola vista como função ) até (reta ). - As curvas se intersectam quando
, ou seja em e . Esses pontos correspondem a e .
Passo 2
Esboço e descrição geométrica da região
.
- A curva
é uma parábola “de lado” abrindo para a direita; quando varia de a , vai de a seguindo essa parábola. - A curva
é a reta de 45° no primeiro quadrante; para também vai de a . - Para
vale , então a região é o conjunto de pontos entre a parábola à esquerda e a reta à direita, com entre e . Em palavras: é a “fatia” no primeiro quadrante limitada pela parábola , pela reta e pelas retas horizontais e .
(Esboço mental: desenhe os eixos, a reta
e a parábola
; a região fica entre elas para
.)
Passo 3
Escolha da ordem de integração e escrita do integral iterado.
- Como o enunciado já fornece
entre duas funções de e entre constantes, é natural usar a ordem . - Assim a integral dupla vira o iterado
Observação importante sobre
: a função
não está definida quando
(exceto possivelmente em
), porém a linha
tem medida zero no plano, e para integrar em
consideramos os
e o limite quando
. Portanto podemos fazer a integração em
para cada
e depois integrar em
de
a
(isto é um integral improprio neste limite inferior, mas é regular porque a contribuição se comporta bem). Na prática, executar a integração para
e depois avaliar o integral em
funciona.
Passo 4
Calcular a integral interna
usando substituição.
- Para integrar
em com fixo (e positivo), faz sentido usar a substituição
- Diferenciando,
, portanto . - Quando
temos . Quando temos . - Substituindo na integral interna:
Passo 5
Avaliar a integral interna após substituição.
- A primitiva de
é . Então
- Assim o integral duplo reduz-se a um integral de uma variável:
Passo 6
Calcular o integral em
:
Calcular as duas parcelas separadamente.
- A primeira parcela:
- A segunda parcela
pode ser feita por partes. Fórmula de integração por partes: se e são funções diferenciáveis, então
Escolhemos
e
. Então
e
. Aplicando:
Avaliar de
a
:
Passo 7
Juntar os resultados:
Comentário final de interpretação: o resultado é um número positivo, pois
e
. A técnica usada foi transformar o integral duplo em um iterado conveniente
, usar substituição para simplificar a integral em
e depois integração por partes para a integral em
.