Exercício 23. A anemia pode ser encontrada em 25 \% das crianças em idade escolar, do ensino “maternal”. Suponha que em uma sala seja composta por 20 alunos, responda: Duas crianças são selecionadas,
Sem reposição, qual é a probabilidade de pelo menos uma possuir anemia?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pergunta uma coisa clara. Informações:
  • A porcentagem de crianças com anemia é \,25\%.
  • A sala tem \,20 alunos.
  • Duas crianças são selecionadas sem reposição (ou seja, a segunda é escolhida após a primeira e sem colocar a primeira de volta).
Pergunta do enunciado:
  • Qual é a probabilidade de que, entre as duas crianças selecionadas, pelo menos uma possua anemia?
Observação direta das informações: \,25\% de \,20 alunos corresponde a \,0{,}25\cdot20=5 crianças com anemia (vamos assumir que exatamente \,5 têm anemia na sala), logo há \,5 “sucessos” (anêmicas) e \,15 “fracassos” (não anêmicas) na população de \,20.

Passo 2

Estratégia prática (explicação didática): é muito mais simples calcular o complementar do evento pedido. O evento pedido é “pelo menos uma anêmica”. O complemento é “nenhuma anêmica” (ou seja, as duas selecionadas são não anêmicas). Então vamos achar primeiro a probabilidade de selecionar duas crianças sem anemia e depois subtrair de 1.
Por que isso facilita? Porque calcular “nenhuma anêmica” envolve contar/avaliar apenas casos em que ambas vêm do grupo de \,15 saudáveis, o que é direto com contagem combinatória ou multiplicação sequencial de probabilidades sem reposição.

Passo 3

Método combinatório (contagem):
  • Número total de formas de escolher 2 alunos dentre 20 é dado por \binom{20}{2}.
  • Número de formas de escolher 2 alunos dentre as 15 não anêmicas é \binom{15}{2}.
Explicando combinação: \binom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}, onde n! (fatorial) é o produto n\cdot(n-1)\cdots1. Para k=2 há uma fórmula prática: \binom{n}{2}=\dfrac{n(n-1)}{2}.
Calculemos:
\binom{20}{2}=\dfrac{20\cdot19}{2}=190.
\binom{15}{2}=\dfrac{15\cdot14}{2}=105.
Portanto a probabilidade de não haver nenhuma anêmica (as duas escolhidas saudáveis) é
P(\text{nenhuma})=\dfrac{\binom{15}{2}}{\binom{20}{2}}=\dfrac{105}{190}.
Simplificando a fração:
\dfrac{105}{190}=\dfrac{21}{38}\approx 0,5526.

Passo 4

Método alternativo (probabilidades sequenciais, para entendimento):
  • Probabilidade da primeira criança ser não anêmica: \dfrac{15}{20}.
  • Dado que a primeira foi não anêmica, restam 14 não anêmicas em 19 alunos, então probabilidade da segunda também ser não anêmica: \dfrac{14}{19}.
  • Multiplicando (regra do produto para eventos encadeados):
P(\text{nenhuma})=\dfrac{15}{20}\cdot\dfrac{14}{19}=\dfrac{21}{38},
que coincide com o resultado combinatório mostrado antes. Isso confirma que estamos corretos.

Passo 5

Agora o que queremos é “pelo menos uma anêmica”, que é o complementar de “nenhuma”. Logo:
P(\text{pelo menos uma})=1-P(\text{nenhuma})=1-\dfrac{21}{38}=\dfrac{17}{38}.
Em decimal aproximado:
\dfrac{17}{38}\approx 0,4474.
Interpretação rápida: há cerca de 44{,}74\% de chance de que, ao escolher duas crianças sem reposição, ao menos uma delas tenha anemia. Força aí — essa é a resposta que vai cair fácil na prova se aparecer algo parecido!

Resposta

\dfrac{17}{38}\approx 0,4474

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