Exercício 24. O representante comercial de fita métrica passou no seu consultório e você adquiriu duas caixas de fita métrica. A caixa 1 possui fitas vermelhas e
delas são fitas danificadas. A caixa 2 possui fitas azuis e 5% delas são fitas danificadas. Quando a sua compra chegou, você resolveu misturar as fitas das duas caixas, tornando aleatório o ato de pegar uma fita. Neste momento você constata que
das fitas métricas são vermelhas. De olhos vendados, você pega uma fita e constata que ela está danificada, qual é a probabilidade de ser da cor azul? (R. 0.8911)
Passo 1
O enunciado pede a probabilidade de a fita danificada ser da cor azul, dado que você pegou uma fita de olhos vendados e ela está danificada. Ou seja, queremos
.
Informações fornecidas:
- A caixa 1 tem fitas vermelhas e
delas são danificadas. - A caixa 2 tem fitas azuis e
delas são danificadas. - Após misturar as fitas das duas caixas,
das fitas são vermelhas. - Você pega uma fita ao acaso (todas as fitas misturadas são igualmente prováveis) e observa que ela está danificada.
- Precisamos calcular a probabilidade de que essa fita danificada seja azul.
Passo 2
Definimos eventos para organizar a solução:
- Seja
o evento “a fita é azul”. - Seja
o evento “a fita é vermelha”. - Seja
o evento “a fita está danificada”.
O que queremos é
, a probabilidade de
dado
.
Vou usar a fórmula de probabilidade condicional (fórmula de Bayes, nesse caso simples). A fórmula é
Aqui:
-
é a probabilidade de a fita estar danificada sabendo que ela é azul (ou seja, a taxa de defeitos entre azuis). -
é a probabilidade a priori de uma fita ser azul (proporção de azuis na mistura). -
é a probabilidade total de uma fita aleatória estar danificada (considerando ambas as cores).
Passo 3
Converter as porcentagens dadas em probabilidades decimais e anotar valores:
- A partir de "
das fitas são vermelhas" temos . Então - Taxa de danificadas entre vermelhas:
= . Logo . - Taxa de danificadas entre azuis:
= . Logo .
Resumo:
Passo 4
Calcular
, a probabilidade total de a fita escolhida estar danificada, usando a lei da probabilidade total:
Explicação rápida: a fita pode ser azul ou vermelha; a probabilidade de danificar é a soma das probabilidades de cada caso (danificada e azul) mais (danificada e vermelha).
Passo 5
Substituímos os números e calculamos cada termo:
- Primeiro termo (azul e danificada):
- Segundo termo (vermelha e danificada):
Somando,
Passo 6
Agora aplicamos Bayes para obter
:
Fazendo a divisão:
Arredondando razoavelmente para quatro casas decimais:
Passo 7
Interpretação curta e incentivo: a probabilidade de a fita danificada ser azul é alta (
) porque, apesar de haver menos fitas azuis (
do total), a taxa de defeito entre azuis (
) é muito maior que entre as vermelhas (
). Bom trabalho por encarar a questão — isso é exatamente o tipo de raciocínio com que você se dá bem na prova!