Exercício 24. O representante comercial de fita métrica passou no seu consultório e você adquiriu duas caixas de fita métrica. A caixa 1 possui fitas vermelhas e 0.5 \% delas são fitas danificadas. A caixa 2 possui fitas azuis e 5% delas são fitas danificadas. Quando a sua compra chegou, você resolveu misturar as fitas das duas caixas, tornando aleatório o ato de pegar uma fita. Neste momento você constata que 55 \% das fitas métricas são vermelhas. De olhos vendados, você pega uma fita e constata que ela está danificada, qual é a probabilidade de ser da cor azul? (R. 0.8911)

Passo 1

O enunciado pede a probabilidade de a fita danificada ser da cor azul, dado que você pegou uma fita de olhos vendados e ela está danificada. Ou seja, queremos P(\text{azul} \mid \text{danificada}).
Informações fornecidas:
  • A caixa 1 tem fitas vermelhas e 0,5\% delas são danificadas.
  • A caixa 2 tem fitas azuis e 5\% delas são danificadas.
  • Após misturar as fitas das duas caixas, 55\% das fitas são vermelhas.
  • Você pega uma fita ao acaso (todas as fitas misturadas são igualmente prováveis) e observa que ela está danificada.
  • Precisamos calcular a probabilidade de que essa fita danificada seja azul.

Passo 2

Definimos eventos para organizar a solução:
  • Seja A o evento “a fita é azul”.
  • Seja R o evento “a fita é vermelha”.
  • Seja D o evento “a fita está danificada”.
O que queremos é P(A\mid D), a probabilidade de A dado D.
Vou usar a fórmula de probabilidade condicional (fórmula de Bayes, nesse caso simples). A fórmula é
P(A\mid D)=\frac{P(D\mid A)\,P(A)}{P(D)}.
Aqui:
  • P(D\mid A) é a probabilidade de a fita estar danificada sabendo que ela é azul (ou seja, a taxa de defeitos entre azuis).
  • P(A) é a probabilidade a priori de uma fita ser azul (proporção de azuis na mistura).
  • P(D) é a probabilidade total de uma fita aleatória estar danificada (considerando ambas as cores).

Passo 3

Converter as porcentagens dadas em probabilidades decimais e anotar valores:
  • A partir de " 55\% das fitas são vermelhas" temos P(R)=0,55. Então P(A)=1-P(R)=1-0,55=0,45.
  • Taxa de danificadas entre vermelhas: 0,5\% = 0{,}005. Logo P(D\mid R)=0{,}005.
  • Taxa de danificadas entre azuis: 5\% = 0{,}05. Logo P(D\mid A)=0{,}05.
Resumo:
P(A)=0{,}45,\quad P(R)=0{,}55,\quad P(D\mid A)=0{,}05,\quad P(D\mid R)=0{,}005.

Passo 4

Calcular P(D), a probabilidade total de a fita escolhida estar danificada, usando a lei da probabilidade total:
P(D)=P(D\mid A)P(A)+P(D\mid R)P(R).
Explicação rápida: a fita pode ser azul ou vermelha; a probabilidade de danificar é a soma das probabilidades de cada caso (danificada e azul) mais (danificada e vermelha).

Passo 5

Substituímos os números e calculamos cada termo:
  • Primeiro termo (azul e danificada): P(D\mid A)P(A)=0{,}05\times 0{,}45=0{,}0225.
  • Segundo termo (vermelha e danificada): P(D\mid R)P(R)=0{,}005\times 0{,}55=0{,}00275.
Somando,
P(D)=0{,}0225+0{,}00275=0{,}02525.

Passo 6

Agora aplicamos Bayes para obter P(A\mid D):
P(A\mid D)=\frac{P(D\mid A)P(A)}{P(D)}=\frac{0{,}0225}{0{,}02525}.
Fazendo a divisão:
\frac{0{,}0225}{0{,}02525}\approx 0{,}891089\ldots
Arredondando razoavelmente para quatro casas decimais:
P(A\mid D)\approx 0{,}8911.

Passo 7

Interpretação curta e incentivo: a probabilidade de a fita danificada ser azul é alta ( \approx 89{,}11\%) porque, apesar de haver menos fitas azuis ( 45\% do total), a taxa de defeito entre azuis ( 5\%) é muito maior que entre as vermelhas ( 0{,}5\%). Bom trabalho por encarar a questão — isso é exatamente o tipo de raciocínio com que você se dá bem na prova!

Resposta

0,8911

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