(b) Interpretar o significado das entradas de A^{2}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
A matriz A é uma matriz 3\times3 com elementos 0 ou 1.
Cada elemento A_{ij} indica uma conexão (aresta) do nó i para o nó j (valores iguais a 1 significam presença de aresta).
Passo 2
Fórmula que vamos usar para calcular A^{2}.
Quando multiplicamos matrizes, o elemento (i,j) da matriz produto A^{2}=A\cdot A é dado por
(A^{2})_{ij}=\sum_{k=1}^{3} A_{ik}\,A_{kj}.
Explicando cada parte:
(A^{2})_{ij} é a entrada na linha i e coluna j de A^{2}.
A_{ik} é o elemento da linha i e coluna k de A.
A_{kj} é o elemento da linha k e coluna j de A.
Na prática isso significa: pegue a i-ésima linha de A e faça o produto escalar (dot product) com a j-ésima coluna de A.
Dica prática para prova: calcule cada (A^{2})_{ij} fazendo o produto escalar da linha i pela coluna j; como aqui os elementos são 0 ou 1, cada termo é simplesmente um produto 0 ou 1.
Passo 3
Vou escrever as linhas e colunas de A para facilitar os cálculos.
Agora a interpretação das entradas: quando A é uma matriz de adjacência (conexões entre nós), o elemento (A^{2})_{ij} conta quantos caminhos de comprimento 2 (duas arestas) existem do nó i até o nó j. Por exemplo:
(A^{2})_{11}=1 significa que existe exatamente um caminho de comprimento 2 que sai do nó 1 e volta ao nó 1 (no caso é o caminho 1\to2\to1).
(A^{2})_{12}=1 significa que há exatamente um caminho de comprimento 2 de 1 até 2 (que é 1\to3\to2).
Entradas zero, como (A^{2})_{13}=0, significam que não existe nenhum caminho com exatamente duas arestas de 1 até 3.
Dica para a prova: para interpretar A^{k}, use a mesma ideia — (A^{k})_{ij} é o número de caminhos de comprimento k de i para j.