Exercício 24 Mostre que para qualquer matriz
de ordem
, a matriz
A é sempre simétrica.
Passo 1
O enunciado dá uma matriz
de ordem
e define a matriz
por
O que pede: mostrar que
é sempre uma matriz simétrica. Em termos precisos, provar que
Informações relevantes que já temos do enunciado:
-
tem dimensão . -
tem dimensão . - Logo
tem dimensão (produto bem definido).
Passo 2
Definição útil (explicada): uma matriz quadrada
é simétrica quando ela é igual à sua transposta, isto é,
Em termos de entradas, se
então
é simétrica se e somente se
Vou usar essa definição como alvo: mostrar que
.
Passo 3
Fato-chave sobre transposta de produto (vamos provar e entender): para quaisquer matrizes
e
com produto definido, vale
Prova elementar desse fato (passo a passo):
- Seja
de dimensão e de dimensão . Então é . - A entrada
de é, por definição, a entrada de :
- Por definição de multiplicação de matrizes,
- Agora observe que
e o lado direito é exatamente a entrada
da matriz
, porque
e
. Portanto
- Como vale para todas as posições
, obtemos a igualdade matricial
Esse é um resultado padrão, e agora já o temos provado de forma elementar.
Passo 4
Outro fato simples sobre transposta que vamos usar: tomar transposta duas vezes devolve a matriz original:
Prova curta: por definição
, logo
.
Passo 5
Agora aplicamos o fato da transposta de produto ao caso concreto
.
Usando com
e
, obtemos
Usando
Pelo passo anterior
, portanto
Isto mostra exatamente que
, ou seja,
é simétrica.
Passo 6
Intuição alternativa (muito útil na hora da prova): escrevendo as entradas de
com somas,
sejam as colunas de denotadas por
(cada
é vetor em
). Então a entrada
de
é o produto interno entre as colunas
e
:
sejam as colunas de
Como o produto interno é comutativo,
, segue que
para todos
. Isso também prova que
é simétrica e dá uma intuição:
é a matriz de Gram das colunas de
.