Exercício 24 Mostre que para qualquer matriz A de ordem m \times n, a matriz K=A^{T} A é sempre simétrica.

Passo 1

O enunciado dá uma matriz A de ordem m\times n e define a matriz K por
K = A^{T} A.
O que pede: mostrar que K é sempre uma matriz simétrica. Em termos precisos, provar que
K^{T} = K.
Informações relevantes que já temos do enunciado:
  • A tem dimensão m\times n.
  • A^{T} tem dimensão n\times m.
  • Logo K=A^{T}A tem dimensão n\times n (produto bem definido).

Passo 2

Definição útil (explicada): uma matriz quadrada M é simétrica quando ela é igual à sua transposta, isto é,
M^{T}=M.
Em termos de entradas, se M=(M_{ij}) então M é simétrica se e somente se
M_{ij}=M_{ji}\quad\text{para todos }i,j.
Vou usar essa definição como alvo: mostrar que (A^{T}A)^{T}=A^{T}A.

Passo 3

Fato-chave sobre transposta de produto (vamos provar e entender): para quaisquer matrizes X e Y com produto definido, vale
(XY)^{T}=Y^{T}X^{T}.
Prova elementar desse fato (passo a passo):
  • Seja X de dimensão p\times q e Y de dimensão q\times r. Então XY é p\times r.
  • A entrada (i,j) de (XY)^{T} é, por definição, a entrada (j,i) de XY:
\bigl((XY)^{T}\bigr)_{ij}=(XY)_{ji}.
  • Por definição de multiplicação de matrizes,
(XY)_{ji}=\sum_{k=1}^{q} X_{jk}Y_{ki}.
  • Agora observe que
\sum_{k=1}^{q} X_{jk}Y_{ki}=\sum_{k=1}^{q} Y_{ki}X_{jk},
e o lado direito é exatamente a entrada (i,j) da matriz Y^{T}X^{T}, porque (Y^{T})_{ik}=Y_{ki} e (X^{T})_{kj}=X_{jk}. Portanto
\bigl((XY)^{T}\bigr)_{ij}=(Y^{T}X^{T})_{ij}.
  • Como vale para todas as posições (i,j), obtemos a igualdade matricial
(XY)^{T}=Y^{T}X^{T}.
Esse é um resultado padrão, e agora já o temos provado de forma elementar.

Passo 4

Outro fato simples sobre transposta que vamos usar: tomar transposta duas vezes devolve a matriz original:
\bigl(A^{T}\bigr)^{T}=A.
Prova curta: por definição \bigl(A^{T}\bigr)^{T}_{ij}=(A^{T})_{ji}=A_{ij}, logo \bigl(A^{T}\bigr)^{T}=A.

Passo 5

Agora aplicamos o fato da transposta de produto ao caso concreto K=A^{T}A.
Usando (XY)^{T}=Y^{T}X^{T} com X=A^{T} e Y=A, obtemos
\bigl(A^{T}A\bigr)^{T}=A^{T}\bigl(A^{T}\bigr)^{T}.
Pelo passo anterior \bigl(A^{T}\bigr)^{T}=A, portanto
\bigl(A^{T}A\bigr)^{T}=A^{T}A.
Isto mostra exatamente que K^{T}=K, ou seja, K é simétrica.

Passo 6

Intuição alternativa (muito útil na hora da prova): escrevendo as entradas de K com somas,
sejam as colunas de A denotadas por a_{1},a_{2},\dots,a_{n} (cada a_{j} é vetor em \mathbb{R}^{m}). Então a entrada (i,j) de K é o produto interno entre as colunas a_{i} e a_{j}:
K_{ij}=(A^{T}A)_{ij}=a_{i}\cdot a_{j}.
Como o produto interno é comutativo, a_{i}\cdot a_{j}=a_{j}\cdot a_{i}, segue que K_{ij}=K_{ji} para todos i,j. Isso também prova que K é simétrica e dá uma intuição: A^{T}A é a matriz de Gram das colunas de A.

Resposta

K=A^{T}A é simétrica, pois \bigl(A^{T}A\bigr)^{T}=A^{T}A.

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