Exercício 23. (D.K. ex. 4.7) Para x in R^n backslash0. Definamos
E(x)=c 1(2-n) cn|x|^n-2, se n neq 2 12 pi ln |x|, se n=2
a) Mostre que existe uma constante c in C tal que partialxj E=c vj.
b) Mostre que De<a E=de<a, em que
De<a=sumj=1^n partialxj^2

Passo 1

O enunciado define a função fundamental
E(x)= 1(2-n),cn,|x|^,n-2,&nneq2,[1em] 12piln|x|,&n=2,
em R^nsetminus0.
a) Pede-se para mostrar que existe cinC tal que
partialxjE(x)=c,vj(x),
onde vj(x) é a componente j-ésima do campo radial v(x)=x/|x|^n.
b) Pede-se para provar que, em distribuições,
De<a E=de<a,
ou seja, E é a solução fundamental do laplaciano.
Para isso precisaremos de:
1. Regra da cadeia aplicada a funções radiais r=|x|.
2. Propriedade de que sumj=1^npartialxjvj=0 em xneq0.
3. Integração por partes (teorema da divergência) em bolas centradas na origem e comportamento do fluxo em |x|=varepsilonto0.]

Passo 2

Cálculo de
Pela regra da cadeia,
Logo
  • Caso :
e
Logo
Em ambos os casos vemos que basta escolher
o que unifica a forma (\partial_{x_j}E=c,v_j].

Passo 3

Mostramos que De<a E=0 em xneq0.
Como partialxjE=c,vj,
De<a E =sumj=1^npartialxj^2E =csumj=1^npartialxjvj
Mas para xneq0 é conhecido que o campo v(x)=x/|x|^n satisfaz
sumj=1^npartialxjvj(x)=0
Portanto De<a E(x)=0 sempre que xneq0.

Passo 4

Prova em distribuições de .
Seja . Queremos mostrar
Por definição de laplaciano em distribuições e integração por partes em :
Usando duas integrais por partes (teorema da divergência) reduzimos ao fluxo de sobre a esfera :
Como fora da origem, o termo volumétrico some, e o termo com tende a zero quando (porque é menos singular que ). Resta
Na esfera , e . Além disso , onde é o elemento de área na esfera unidade de área . Logo
Como em ( ) vimos , esse produto vale exatamente . Portanto
o que significa .

Resposta

a) Temos
partialxjE(x)=c,vj(x),
com
c= 1/cn,&nneq2, 1/(2pi),&n=2
b) Em distribuições verifica-se De<a E=de<a.

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