a) Mostre que existe uma constante tal que .
b) Mostre que , em que
Passo 1
O enunciado define a função fundamental
em R^nsetminus0.
a) Pede-se para mostrar que existe cinC tal que
partialxjE(x)=c,vj(x),
onde vj(x) é a componente j-ésima do campo radial v(x)=x/|x|^n.
b) Pede-se para provar que, em distribuições,
De<a E=de<a,
ou seja, E é a solução fundamental do laplaciano.
Para isso precisaremos de: 1. Regra da cadeia aplicada a funções radiais r=|x|. 2. Propriedade de que sumj=1^npartialxjvj=0 em xneq0. 3. Integração por partes (teorema da divergência) em bolas centradas na origem e comportamento do fluxo em |x|=varepsilonto0.]
Passo 2
Cálculo de
Pela regra da cadeia,
Logo
Caso :
e
Logo
Em ambos os casos vemos que basta escolher
o que unifica a forma (\partial_{x_j}E=c,v_j].
Passo 3
Mostramos que De<a E=0 em xneq0.
Como partialxjE=c,vj,
De<a E =sumj=1^npartialxj^2E =csumj=1^npartialxjvj
Mas para xneq0 é conhecido que o campo v(x)=x/|x|^n satisfaz
sumj=1^npartialxjvj(x)=0
Portanto De<a E(x)=0 sempre que xneq0.
Passo 4
Prova em distribuições de .
Seja . Queremos mostrar
Por definição de laplaciano em distribuições e integração por partes em :
Usando duas integrais por partes (teorema da divergência) reduzimos ao fluxo de sobre a esfera :
Como fora da origem, o termo volumétrico some, e o termo com tende a zero quando (porque é menos singular que ). Resta
Na esfera , e . Além disso , onde é o elemento de área na esfera unidade de área . Logo
Como em () vimos , esse produto vale exatamente . Portanto