6 Obtenha a equação da reta r, contida no plano pi: x-y+z=0 e que interseta as retas r1:cccx+y+2 z & = & 2 x & = & y r2:cccx-z & = & -2 y & = & 0

Passo 1

O enunciado pede a reta
e que intersecta as retas
O conteúdo é geometria analítica no espaço: vamos parametrizar , achar suas interseções com e depois determinar como a reta que passa por esses dois pontos.

Passo 2

Parametrizamos r1. Como x=y, substituindo em x+y+2z=2
2x+2z=2;Rightarrow;z=1-x
Logo um parâmetro t
r1(t)=(x,y,z)=(t,;t,;1-t);=;(0,0,1)+t,(1,1,-1)

Passo 3

Para achar a interseção P de r1 com pi, impomos
x - y + z = 0
em r1(t):
t - t + (1-t)=1-t=0;Rightarrow;t=1
Assim
P = r1(1) = (1,,1,,0)

Passo 4

Parametrizamos r2. Como y=0 e x-z=-2, tomamos parâmetro s em z:
z=s, x=s-2, y=0,
logo
r2(s)=(s-2,,0,,s) = (-2,0,0)+s,(1,0,1)
Impondo x-y+z=0 em r2(s)
(s-2)-0+s=2s-2=0;Rightarrow;s=1
Portanto
Q = r2(1) = (-1,,0,,1)

Passo 5

A reta r deve passar por P=(1,1,0) e Q=(-1,0,1). O vetor direção é
PQ=(-1-1,;0-1,;1-0)=(-2,,-1,,1)
Podemos usar o vetor (2,1,-1) invertendo o sinal. Assim uma forma paramétrica é
r:;(x,y,z)=(1,1,0)+t,(2,1,-1)

Resposta

Forma simétrica da reta r:
x-12 ;=;y-11 ;=;z-0-1

Exercícios relacionados