Exercício 22. (D.K. ex. 4.6) Seja p in R^n e vj(x)=xj-pj|x-p|^n, 1 <= j <= n. Verifique que vj são localmente integráveis em R^n e que, portanto, definem distribuições em R^n. Prove que
div(v)=sumj=1^n partialxj vj=cn de<ap

Passo 1

O enunciado define, para um ponto pinR^n, as funções
vj(x)=xj - pj|x-p|^n, j=1,dots,n,
e pede para mostrar que cada vj é localmente integrável e, no sentido das distribuições,
div,v=sumj=1^npartialxjvj = cn,de<ap
O plano é usar coordenadas esféricas centradas em p, provar a integrabilidade local e depois calcular lang<=div,v,varphirang<= por integração por partes numa região que exclui uma bola de raio varepsilon em torno de p.

Passo 2

Para ver que vjin L^1loc(R^n), note que perto de p temos l|vj(x)r|sim|x-p|^-(n-1). Num raio fixo R>0, em coordenadas esféricas em torno de p, o volume elementar é dx = r^n-1,dr,dS, e
integralB(p,R) |vj(x)|,dx ;<=; integral0^R r^-(n-1),r^n-1,dr;times;l|!S^n-1r| ;=; l|!S^n-1r|;R <infty
Aqui l|!S^n-1r| é a área da esfera unitária em R^n. Logo vj é localmente integrável.

Passo 3

Como v=(v1,dots,vn)in [L^1loc]^n, definimos sua divergência no senso das distribuições por
llang<= div,v,varphi rrang<= = -sumj=1^n integralR^n vj(x),partialxjvarphi(x),dx,
para toda varphiin Cc^infty(R^n).

Passo 4

Para calcular esse par, retire do domínio uma bola Bvarepsilon=B(p,varepsilon) e use integração por partes em Omegavarepsilon=R^nsetminus Bvarepsilon. Como v é suave em Omegavarepsilon e div,v=0 ali (é fácil checar isso derivando (xj-pj)/r^n no interior), obtemos
-integralOmegavarepsilon vcdotnablavarphi =integralOmegavarepsilon varphi,div,v -integralpartial Bvarepsilonvarphi,(vcdot n) =;- integralpartial Bvarepsilonvarphi,(vcdot n),
onde n é o vetor normal exterior em partial Bvarepsilon.

Passo 5

Na esfera de raio varepsilon centrada em p, temos n=(x-p)/|x-p| e
v(x)cdot n =x-p|x-p|^ncdot x-p|x-p| =|x-p||x-p|^n =varepsilon^-(n-1)
Além disso varphi(x)=varphi(p)+O(varepsilon). Assim
-integralOmegavarepsilonvcdotnablavarphi =integral|x-p|=varepsilonl(varphi(p)+O(varepsilon)r),varepsilon^-(n-1),dS =varphi(p),varepsilon^-(n-1);varepsilon^,n-1,l|!S^n-1r|+o(1)
Fazendo varepsilonto0 obtemos
llang<= div,v,varphirrang<= =varphi(p),l|!S^n-1r|,
ou seja div,v=l|!S^n-1r|;de<ap.

Resposta

div(v)=sumj=1^npartialxjvj = cn,de<ap, com cn=l|!S^n-1r| =2pi^n/2Gamma!l(tfrac n2r)

Exercícios relacionados