Exercício 22. (D.K. ex. 4.6) Seja e . Verifique que são localmente integráveis em e que, portanto, definem distribuições em . Prove que
Passo 1
O enunciado define, para um ponto , as funções
e pede para mostrar que cada é localmente integrável e, no sentido das distribuições,
O plano é usar coordenadas esféricas centradas em , provar a integrabilidade local e depois calcular por integração por partes numa região que exclui uma bola de raio em torno de .
Passo 2
Para ver que , note que perto de temos . Num raio fixo R>0, em coordenadas esféricas em torno de p, o volume elementar é dx = r^n-1,dr,dS, e
Para calcular esse par, retire do domínio uma bola Bvarepsilon=B(p,varepsilon) e use integração por partes em Omegavarepsilon=R^nsetminus Bvarepsilon. Como v é suave em Omegavarepsilon e div,v=0 ali (é fácil checar isso derivando (xj-pj)/r^n no interior), obtemos