7 O triângulo triang<= A B C é equilátero. Sabendo que A=(1,1,0) e que os pontos B e C pertencem à reta r: t(0,1,1), t in R, determine os pontos B e C.

Passo 1

O enunciado dá um triângulo equilátero ABC em R^3, com A=(1,1,0) e os vértices B e C sobre a reta
r:;(0,t,t),;tin R
Para montar as equações usaremos a fórmula da distância no espaço:
d(P,Q)=raiz(xP-xQ)^2+(yP-yQ)^2+(zP-zQ)^2

Passo 2

Como B e C estão em r, escrevemos
B=(0,t1,t1), C=(0,t2,t2)
Num triângulo equilátero precisamos de
AB=AC=BC

Passo 3

Começamos impondo AB=AC. Calculando cada distância ao quadrado (para evitar raízes) e igualando:
AB^2=(0-1)^2+(t1-1)^2+(t1-0)^2 =2t1^2-2t1+1,
AC^2=2t2^2-2t2+1
Da igualdade AB^2=AC^2 obtém-se
t1^2-t1=t2^2-t2 Longrightarrow t2=1-t1(exclui-se t2=t1)

Passo 4

Agora impomos BC=AB. Primeiro
BC^2=(t2-t1)^2+(t2-t1)^2 =2(t2-t1)^2 =2(1-2t1)^2
Igualando BC^2=AB^2 e usando AB^2=2t1^2-2t1+1:
2(1-2t1)^2=2t1^2-2t1+1 Longrightarrow 6t1^2-6t1+1=0
Resolvendo a equação quadrática:
t1=3pmraiz36

Passo 5

Como t2=1-t1, obtemos as duplas
(t1,t2)=l(tfrac3+raiz36,;tfrac3-raiz36r) ou (t1,t2)=l(tfrac3-raiz36,;tfrac3+raiz36r)

Resposta

Podemos escolher, por exemplo,
B=l(0,tfrac3+raiz36,tfrac3+raiz36r), C=l(0,tfrac3-raiz36,tfrac3-raiz36r)

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