Exercício 2.26. Considere o campo vetorial
e seja
a região do espaço delimitada superiormente pelo paraboloide
e inferiormente pelo plano
. Calcule o fluxo do campo
através da superfície fronteira do sólido
, em relação à normal que aponta para fora de
.
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
e a região entre o plano
(inferior) e o paraboloide
(superior). Pede-se o fluxo de
sobre
com a normal apontando para fora. Vamos usar o Teorema da Divergência (ou Gauss), que diz
e a região
Passo 2
Calculamos a divergência de
:
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Passo 3
Pelo Teorema da Divergência, o fluxo é
Passo 4
Para calcular o volume, projetamos
no plano
. A desigualdade
existe se, e somente se,
Então
em que
é o disco de raio
.
Passo 5
Usando coordenadas polares (
,
,
):