Exercício 2.26. Considere o campo vetorial \vec{F}(x, y, z)=\left(z \arctan \left(y^{2}\right), z^{3} \ln \left(x^{2}+1\right), z\right) e seja \Omega a região do espaço delimitada superiormente pelo paraboloide z=2-x^{2}-y^{2} e inferiormente pelo plano z=1. Calcule o fluxo do campo \vec{F} através da superfície fronteira do sólido \Omega, em relação à normal que aponta para fora de \Omega.

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
\vec{F}(x,y,z)=\bigl(z\,\arctan(y^{2}),\,z^{3}\ln(x^{2}+1),\,z\bigr)
e a região \Omega entre o plano z=1 (inferior) e o paraboloide z=2 - x^{2} - y^{2} (superior). Pede-se o fluxo de \vec{F} sobre \partial\Omega com a normal apontando para fora. Vamos usar o Teorema da Divergência (ou Gauss), que diz
\iint_{\partial\Omega} \vec{F} \cdot \vec{n} \, dS = \iiint_{\Omega} \nabla \cdot \vec{F} \, dV.

Passo 2

Calculamos a divergência de \vec F=(P,Q,R):
P=z\,\arctan(y^2)\implies \frac{\partial P}{\partial x}=0, \quad Q=z^3\ln(x^2+1)\implies \frac{\partial Q}{\partial y}=0, \quad R=z\implies \frac{\partial R}{\partial z}=1.
Logo
\nabla\cdot\vec F =\frac{\partial P}{\partial x} +\frac{\partial Q}{\partial y} +\frac{\partial R}{\partial z} =0+0+1=1.

Passo 3

Pelo Teorema da Divergência, o fluxo é
\iint_{\partial\Omega}\vec F\cdot\vec n\,dS =\iiint_{\Omega}1\,dV =\text{Volume}(\Omega).

Passo 4

Para calcular o volume, projetamos \Omega no plano xy. A desigualdade
1\le z\le 2-x^2-y^2
existe se, e somente se,
2-x^2-y^2\ge1 \quad\Longleftrightarrow\quad x^2+y^2\le1.
Então
\text{Volume}(\Omega) =\iint_{x^2+y^2\le1}\bigl[(2-x^2-y^2)-1\bigr]\,dA =\iint_{D}(1-x^2-y^2)\,dA,
em que D é o disco de raio 1.

Passo 5

Usando coordenadas polares ( x=r\cos\theta, y=r\sin\theta, dA=r\,dr\,d\theta):
\text{Volume}(\Omega) =\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{1}(1-r^2)\,r\,dr\,d\theta =2\pi\int_{0}^{1}(r-r^3)\,dr =2\pi\Bigl[\tfrac12-\tfrac14\Bigr] =2\pi\cdot\tfrac14 =\frac{\pi}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{2}

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