Exercício 2.28. Seja
uma região fechada e limitada do
, cuja fronteira é a união de duas superfícies
e
, orientadas com vetor normal exterior à região
. Calcule o fluxo de
através de
, onde
, sabendo que
é uma porção do plano
com 6 unidades de área, que
está abaixo do plano
e que
tem 20 unidades de volume.
Passo 1
O enunciado pede o fluxo de
através de
. Sabemos que a fronteira de
é
orientada para fora, que o volume de
é
e que
é a parte do plano
de área
. Vamos usar o Teorema da Divergência para relacionar o fluxo total
ao volume de
, depois calcular
e isolar
.
Passo 2
Calculamos a divergência de
.
Passo 3
Pelo Teorema da Divergência,
Passo 4
Para
a normal externa é
. Em
,
logo
. O fluxo em
é
Passo 5
Isolando
em
, obtemos