Exercício 2.28. Seja V uma região fechada e limitada do \mathbb{R}^{3}, cuja fronteira é a união de duas superfícies S_{1} e S_{2}, orientadas com vetor normal exterior à região V. Calcule o fluxo de \vec{F} através de S_{2}, onde \vec{F}(x, y, z)=\left(2 x+y^{2} e^{3 z}-\cos \left(y^{2}+z^{2}\right), x z^{2}+\ln \left(1+x^{2}\right), 4-z\right), sabendo que S_{1} é uma porção do plano z=0 com 6 unidades de área, que S_{2} está abaixo do plano z=0 e que V tem 20 unidades de volume.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo de \vec F através de S_{2}. Sabemos que a fronteira de V é S_{1}\cup S_{2} orientada para fora, que o volume de V é 20 e que S_{1} é a parte do plano z=0 de área 6. Vamos usar o Teorema da Divergência para relacionar o fluxo total \Phi_{S_{1}}+\Phi_{S_{2}} ao volume de V, depois calcular \Phi_{S_{1}} e isolar \Phi_{S_{2}}.

Passo 2

Calculamos a divergência de \vec F(x,y,z)=\bigl(2x+y^{2}e^{3z}-\cos(y^{2}+z^{2}),\;xz^{2}+\ln(1+x^{2}),\;4-z\bigr).
\nabla\cdot\vec F =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(2x+y^{2}e^{3z}-\cos(y^{2}+z^{2})\bigr) +\frac{\partial}{\partial y}\bigl(xz^{2}+\ln(1+x^{2})\bigr) +\frac{\partial}{\partial z}(4-z) =2+0-1=1.

Passo 3

Pelo Teorema da Divergência,
\Phi_{S_{1}}+\Phi_{S_{2}} =\iiint_{V}(\nabla\cdot\vec F)\,dV =1\cdot\bigl(\text{vol}(V)\bigr) =1\cdot20 =20.

Passo 4

Para S_{1}\colon z=0 a normal externa é \vec n=(0,0,1). Em z=0,
\vec F(x,y,0)=\bigl(2x+y^{2}-\cos(y^{2}),\;\ln(1+x^{2}),\;4\bigr),
logo \vec F\cdot\vec n=4. O fluxo em S_{1} é
\Phi_{S_{1}}=\int_{S_{1}}4\,dS =4\cdot6 =24.

Passo 5

Isolando \Phi_{S_{2}} em \Phi_{S_{1}}+\Phi_{S_{2}}=20, obtemos
\Phi_{S_{2}}=20-24=-4.

Resposta

-4

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