Exercício 10. Considere
o arco da parábola
com
no plano
. Seja
a superfície obtida girando-se
em torno do eixo
, calcule a área de
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede isto:
- Dado o arco da parábola
no plano com a restrição . - Seja
a superfície obtida girando-se esse arco em torno do eixo . - Pergunta: calcular a área da superfície
.
Informações úteis extraídas do enunciado:
- Dos extremos em
: se então e logo . Se então e logo . - Para gerar a superfície de revolução normalmente usamos apenas um ramo do arco (por exemplo
) e giramos esse ramo em torno do eixo . Se girássemos simultaneamente os ramos e estaríamos cobrindo a mesma superfície duas vezes. Portanto vou tomar o arco com , ou seja variando de até .
Passo 2
Montando a parametrização e a fórmula de área: explique por que usamos a fórmula que vamos aplicar.
- O arco no plano
pode ser visto como curva dada por com variando no intervalo apropriado. - Ao girar essa curva em torno do eixo
, cada ponto com coordenada gera um círculo de raio (distância ao eixo ). - A área de uma superfície de revolução obtida girando uma curva em torno do eixo
é dada pela fórmula
onde
é o elemento de comprimento de arco da curva geratriz e
são os limites da variável que parametra a curva.
- No nosso caso a variável que parametra é
, o raio é e o elemento de arco é
pois a curva está escrita como
. Aqui
é a derivada de
em relação a
.
Passo 3
Calcule
e escreva o integral explícito.
- Da equação
temos
- Então
- Como explicado no Passo 1 escolhemos o ramo com
, e os limites correspondentes a e são e . Logo o integral para a área é
Passo 4
Resolva o integral por substituição (a técnica mais direta aqui).
- Vamos usar a substituição
- Então
- Quando
temos . Quando temos . - Substituindo no integral:
- Simplificando o fator constante:
Passo 5
Calcule a integral em
e volte à forma final.
- A primitiva de
é . Assim
- Multiplicando pelo fator
obtemos
- Podemos escrever
e , ficando a forma mais explícita: