Exercício 10. Considere \gamma o arco da parábola z=3-y^{2} com 0 \leq z \leq 2 no plano y z. Seja S a superfície obtida girando-se \gamma em torno do eixo z, calcule a área de S.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede isto:
  • Dado o arco da parábola \displaystyle z=3-y^{2} no plano yz com a restrição 0\le z\le 2.
  • Seja S a superfície obtida girando-se esse arco em torno do eixo z.
  • Pergunta: calcular a área da superfície S.
Informações úteis extraídas do enunciado:
  • Dos extremos em z: se z=0 então y^{2}=3 e logo y=\pm\sqrt{3}. Se z=2 então y^{2}=1 e logo y=\pm 1.
  • Para gerar a superfície de revolução normalmente usamos apenas um ramo do arco (por exemplo y\ge 0) e giramos esse ramo em torno do eixo z. Se girássemos simultaneamente os ramos y\ge0 e y\le0 estaríamos cobrindo a mesma superfície duas vezes. Portanto vou tomar o arco com y\ge 0, ou seja y variando de \displaystyle 1 até \displaystyle \sqrt{3}.

Passo 2

Montando a parametrização e a fórmula de área: explique por que usamos a fórmula que vamos aplicar.
  • O arco no plano yz pode ser visto como curva dada por \displaystyle (x,y,z)=(0,y,\,3-y^{2}) com y variando no intervalo apropriado.
  • Ao girar essa curva em torno do eixo z, cada ponto com coordenada y gera um círculo de raio \displaystyle y (distância ao eixo z).
  • A área de uma superfície de revolução obtida girando uma curva em torno do eixo z é dada pela fórmula
S = 2\pi \int_{a}^{b} (\text{raio})\; ds
onde ds é o elemento de comprimento de arco da curva geratriz e [a,b] são os limites da variável que parametra a curva.
  • No nosso caso a variável que parametra é y, o raio é \displaystyle y e o elemento de arco é
ds=\sqrt{1+\left(\frac{dz}{dy}\right)^{2}}\;dy,
pois a curva está escrita como z=z(y). Aqui \displaystyle \frac{dz}{dy} é a derivada de z em relação a y.

Passo 3

Calcule \displaystyle \frac{dz}{dy} e escreva o integral explícito.
  • Da equação \displaystyle z=3-y^{2} temos
\frac{dz}{dy}=-2y.
  • Então
\sqrt{1+\left(\frac{dz}{dy}\right)^{2}}=\sqrt{1+(-2y)^{2}}=\sqrt{1+4y^{2}}.
  • Como explicado no Passo 1 escolhemos o ramo com y\ge0, e os limites correspondentes a z=2 e z=0 são y=1 e y=\sqrt{3}. Logo o integral para a área é
S = 2\pi \int_{1}^{\sqrt{3}} y\sqrt{1+4y^{2}}\;dy.

Passo 4

Resolva o integral por substituição (a técnica mais direta aqui).
  • Vamos usar a substituição
u=1+4y^{2}.
  • Então
du=8y\;dy \quad\Longrightarrow\quad y\;dy=\frac{du}{8}.
  • Quando y=1 temos u=1+4\cdot1^{2}=5. Quando y=\sqrt{3} temos u=1+4\cdot(\sqrt{3})^{2}=1+12=13.
  • Substituindo no integral:
S = 2\pi \int_{1}^{\sqrt{3}} y\sqrt{1+4y^{2}}\;dy =2\pi \int_{u=5}^{13} \sqrt{u}\,\frac{du}{8}.
  • Simplificando o fator constante:
S = \frac{\pi}{4}\int_{5}^{13} u^{1/2}\;du.

Passo 5

Calcule a integral em u e volte à forma final.
  • A primitiva de u^{1/2} é \displaystyle \frac{2}{3}u^{3/2}. Assim
\int_{5}^{13} u^{1/2}\;du = \left[\frac{2}{3}u^{3/2}\right]_{5}^{13}=\frac{2}{3}\bigl(13^{3/2}-5^{3/2}\bigr).
  • Multiplicando pelo fator \displaystyle \frac{\pi}{4} obtemos
S = \frac{\pi}{4}\cdot\frac{2}{3}\bigl(13^{3/2}-5^{3/2}\bigr)=\frac{\pi}{6}\bigl(13^{3/2}-5^{3/2}\bigr).
  • Podemos escrever 13^{3/2}=13\sqrt{13} e 5^{3/2}=5\sqrt{5}, ficando a forma mais explícita:
S=\frac{\pi}{6}\bigl(13\sqrt{13}-5\sqrt{5}\bigr).

Resposta

\displaystyle S=\frac{\pi}{6}\bigl(13\sqrt{13}-5\sqrt{5}\bigr)

Exercícios relacionados