Exercício 24. Calcule \int_{S} y d s, onde S=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x^{2}+y^{2}+z^{2}=1, x \geq 0, z \geq 0\right\}.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral de superfície
\int_{S} y\,d s,
onde S é a parte da esfera unitária dada por
S=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x^{2}+y^{2}+z^{2}=1,\; x\ge 0,\; z\ge 0\}.
Informações relevantes dadas:
  1. A superfície é a esfera de raio 1 (ou seja, esfera unitária).
  2. Estamos restringidos ao subconjunto da superfície com as condições x\ge 0 e z\ge 0.
  3. A função a integrar sobre a superfície é a coordenada y.
    O que precisamos entregar: o valor numérico da integral \displaystyle\int_{S} y\,d s.

Passo 2

Entendimento geométrico da região S.
  • A esfera inteira tem superfície total de área 4\pi, mas o que importa aqui é a forma do subconjunto.
  • A condição x\ge 0 seleciona a metade da esfera à frente do plano x=0.
  • A condição z\ge 0 seleciona a metade da esfera acima do plano z=0.
  • A interseção dessas duas metades é um quarto da superfície esférica (isto é, a parte da esfera que está simultaneamente à frente do plano x=0 e acima do plano z=0). Então S é um setor esférico que ocupa um quarto da superfície total (geometricamente: vary em y de negativo a positivo dentro dessa faixa).

Passo 3

Idéia de resolução por simetria (método escolhido).
  • Observe que a descrição de S impõe restrições em x e z, mas não impõe nenhuma restrição em y. Ou seja, para cada ponto (x,y,z)\in S existe o ponto (x,-y,z) também em S, pois trocar o sinal de y não afeta as desigualdades x\ge0 e z\ge0 nem a condição x^{2}+y^{2}+z^{2}=1.
  • A função que estamos integrando é y. Essa função é ímpar na troca y\mapsto -y: em pares de pontos (x,y,z) e (x,-y,z) a soma dos valores de y é y + (-y)=0.
  • Para integrais de uma função escalar sobre uma região que é simétrica nesse sentido, os contributos se cancelam par a par, levando a integral total nula.
  • Esse argumento de simetria é o caminho mais curto e robusto para este problema e geralmente muito útil em provas: sempre procure por simetrias que façam o integrando trocar de sinal.

Passo 4

Explicação didática do que significa “integral de superfície” e justificativa formal do cancelamento por pares.
  • A integral de superfície \displaystyle\int_{S} y\,d s soma os valores de y em cada ponto de S, ponderados pelo elemento de área local d s.
  • Se existe uma aplicação bijetora \Phi:S\to S que preserva área local (ou seja, para cada pequeno pedaço da superfície em p existe um pedaço de mesma área em \Phi(p)) e tal que y(\Phi(p))=-y(p), então os valores contribuem com sinais opostos e se cancelam.
  • No nosso caso a reflexão \Phi(x,y,z)=(x,-y,z) tem exatamente essa propriedade: é bijetora sobre S e preserva d s (é uma isometria da esfera). Portanto os somatórios locais anular-se-ão por pares.

Passo 5

Confirmação por cálculo em coordenadas esféricas (modo de prova alternativa, útil para exame).
  • Parametrização padrão da esfera unitária (esféricas):
\begin{cases} x=\sin\varphi\cos\theta,\\[4pt] y=\sin\varphi\sin\theta,\\[4pt] z=\cos\varphi, \end{cases}
onde \varphi\in[0,\pi] é o ângulo polar (medido desde o eixo z) e \theta\in[0,2\pi) é o ângulo azimutal no plano xy.
  • Para nossa região S temos z\ge0\Rightarrow \varphi\in[0,\tfrac{\pi}{2}] (metade superior) e x\ge0\Rightarrow \cos\theta\ge0\Rightarrow \theta\in[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}]. Assim os parâmetros que descrevem S são
\varphi\in\bigl[0,\tfrac{\pi}{2}\bigr],\qquad \theta\in\bigl[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\bigr].
  • O elemento de área na esfera unitária em coordenadas esféricas é
d s = \sin\varphi\, d\varphi\, d\theta.
Breve justificativa: para a parametrização r(\varphi,\theta) acima, o vetor normal área tem magnitude \bigl\lVert r_{\varphi}\times r_{\theta}\bigr\rVert=\sin\varphi; este resultado é padrão e pode ser obtido calculando as derivadas parciais e o produto vetorial (é bom decorar d s=\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta para esfera unitária).
  • Escrevendo o integrando em coordenadas:
y=\sin\varphi\sin\theta.
Portanto a integral sobre S pode ser escrita como
\int_{S} y\,d s = \int_{\theta=-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \int_{\varphi=0}^{\frac{\pi}{2}} \bigl(\sin\varphi\sin\theta\bigr)\bigl(\sin\varphi\bigr)\,d\varphi\,d\theta = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\sin\theta\;d\theta\; \cdot \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{2}\varphi\;d\varphi.]

Passo 6

Avaliação do produto de integrais e conclusão do cálculo.
  • Note que a integral em \theta é
\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\sin\theta\;d\theta,
e a função \sin\theta é ímpar, enquanto o intervalo de integração é simétrico em torno de 0. Por simetria essa integral anula-se (os contribuições de \theta e -\theta cancelam).
  • Logo o produto das duas integrais é zero (mesmo que a integral em \varphi seja positiva, o fator vindo da integral em \theta é nulo, anulando o produto).
  • Isso confirma o argumento por simetria e dá o valor final da integral.

Resposta

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