Exercício 23. Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \sqrt{x} 2^{\operatorname{sen}\left(\frac{1}{x^{2}}\right)+1}+\frac{4 \operatorname{sen}(2 x)}{3 x}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to0^{+}}\Bigl(\sqrt{x}\,2^{\operatorname{sen}\bigl(\tfrac1{x^{2}}\bigr)+1}+\frac{4\operatorname{sen}(2x)}{3x}\Bigr).
O conteúdo é cálculo de limites envolvendo termo oscilante dentro de uma potência e limite trigonométrico clássico. Vamos usar o Teorema do Confronto (squeeze) para a parte com \sqrt{x} e a aproximação \operatorname{sen} y\sim y quando y\to0 para a segunda parcela.

Passo 2

Analisando \sqrt{x}\,2^{\operatorname{sen}(1/x^{2})+1}: note que \operatorname{sen}(1/x^{2}) varia em [-1,1], logo
\operatorname{sen}\bigl(\tfrac1{x^{2}}\bigr)+1\in[0,2]
e
2^{\operatorname{sen}(1/x^{2})+1}\in[2^{0},2^{2}]=[1,4].
Então
0\le \sqrt{x}\,2^{\operatorname{sen}(1/x^{2})+1}\le 4\sqrt{x}.
Como \lim_{x\to0^{+}}4\sqrt{x}=0, pelo Teorema do Confronto
\lim_{x\to0^{+}}\sqrt{x}\,2^{\operatorname{sen}(1/x^{2})+1}=0.

Passo 3

Para a parte \frac{4\operatorname{sen}(2x)}{3x}, escrevemos
\frac{4\operatorname{sen}(2x)}{3x} =\frac{4}{3}\cdot\frac{\operatorname{sen}(2x)}{2x}\cdot2.
Como \lim_{u\to0}\frac{\operatorname{sen} u}{u}=1, ao tomar u=2x obtemos
\lim_{x\to0^{+}}\frac{\operatorname{sen}(2x)}{2x}=1,
logo
\lim_{x\to0^{+}}\frac{4\operatorname{sen}(2x)}{3x} =\frac{4}{3}\cdot1\cdot2 =\frac{8}{3}.

Passo 4

Somando os limites das duas parcelas (a primeira vai a 0 e a segunda a \tfrac{8}{3}), concluímos que
\lim_{x\to0^{+}}\Bigl(\sqrt{x}\,2^{\operatorname{sen}(1/x^{2})+1}+\frac{4\operatorname{sen}(2x)}{3x}\Bigr) =0+\frac{8}{3} =\frac{8}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{8}{3}

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