Faça um exercício envolvendo a integral tripla em coordenadas esféricas. Calcule o Jacobiano da Transformação.
Descreva o domínio da Região de Integração em termos das coordenadas esféricas.
Passo 1
Enunciado resumido: vamos calcular a integral tripla
I = \iiint_{E} z \,dV
onde E é a região dentro da esfera x^2+y^2+z^2 = a^2 e acima do cone z = \sqrt{x^2+y^2}. O conteúdo é mudança para coordenadas esféricas, cálculo do Jacobiano e descrição do domínio em (\rho,\theta,\varphi).
Passo 2
Em coordenadas esféricas usamos
x = \rho\sin\varphi\cos\theta,\quad y = \rho\sin\varphi\sin\theta,\quad z = \rho\cos\varphi
e o Jacobiano da transformação é
\bigl|\det J\bigr| = \rho^2\sin\varphi.
Passo 3
Descriçã o do domínio E em esféricas:
– A esfera x^2+y^2+z^2 = a^2 vira \rho = a, logo 0\le\rho\le a.
– O cone z = \sqrt{x^2+y^2} é \rho\cos\varphi = \rho\sin\varphi, ou seja \tan\varphi = 1 ⇒ \varphi = \pi/4. Como estamos acima do cone, \varphi varia de 0 até \pi/4.
– A volta completa em torno do eixo z dá 0\le\theta\le2\pi.
Passo 4
Substituindo na integral:
I = \int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{\varphi=0}^{\pi/4}\int_{\rho=0}^{a} \bigl(\rho\cos\varphi\bigr)\,\bigl(\rho^2\sin\varphi\bigr)\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
Aqui \rho\cos\varphi vem de z e \rho^2\sin\varphi é o Jacobiano.