Faça um exercício envolvendo a integral tripla em coordenadas esféricas. Calcule o Jacobiano da Transformação.
Descreva o domínio da Região de Integração em termos das coordenadas esféricas.

Passo 1

Enunciado resumido: vamos calcular a integral tripla
I = \iiint_{E} z \,dV
onde E é a região dentro da esfera x^2+y^2+z^2 = a^2 e acima do cone z = \sqrt{x^2+y^2}. O conteúdo é mudança para coordenadas esféricas, cálculo do Jacobiano e descrição do domínio em (\rho,\theta,\varphi).

Passo 2

Em coordenadas esféricas usamos
x = \rho\sin\varphi\cos\theta,\quad y = \rho\sin\varphi\sin\theta,\quad z = \rho\cos\varphi
e o Jacobiano da transformação é
\bigl|\det J\bigr| = \rho^2\sin\varphi.

Passo 3

Descriçã o do domínio E em esféricas:
– A esfera x^2+y^2+z^2 = a^2 vira \rho = a, logo 0\le\rho\le a.
– O cone z = \sqrt{x^2+y^2} é \rho\cos\varphi = \rho\sin\varphi, ou seja \tan\varphi = 1 \varphi = \pi/4. Como estamos acima do cone, \varphi varia de 0 até \pi/4.
– A volta completa em torno do eixo z 0\le\theta\le2\pi.

Passo 4

Substituindo na integral:
I = \int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{\varphi=0}^{\pi/4}\int_{\rho=0}^{a} \bigl(\rho\cos\varphi\bigr)\,\bigl(\rho^2\sin\varphi\bigr)\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
Aqui \rho\cos\varphi vem de z e \rho^2\sin\varphi é o Jacobiano.

Passo 5

Vamos integrar em \rho primeiro:
\int_{0}^{a}\rho^3\,d\rho = \Bigl[\tfrac{\rho^4}{4}\Bigr]_{0}^{a} = \tfrac{a^4}{4}.
Logo
I = \int_{0}^{2\pi}d\theta \int_{0}^{\pi/4} \tfrac{a^4}{4}\cos\varphi\sin\varphi \,d\varphi.
Integramos em \theta: dá fator 2\pi. Fica
I = \tfrac{2\pi a^4}{4}\int_{0}^{\pi/4}\sin\varphi\cos\varphi\,d\varphi.
Use u=\sin^2\varphi, du=2\sin\varphi\cos\varphi\,d\varphi:
\int_{0}^{\pi/4}\sin\varphi\cos\varphi\,d\varphi = \tfrac12\int_{u=0}^{1/2}du = \tfrac14.
Então
I = \tfrac{2\pi a^4}{4}\cdot\tfrac14 = \tfrac{\pi a^4}{8}.

Resposta

I = \frac{\pi a^4}{8}.
Jacobiano: \rho^2\sin\varphi.
Domínio em esféricas:
0 \le \rho \le a,\quad 0 \le \varphi \le \frac{\pi}{4},\quad 0 \le \theta \le 2\pi.

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