Exercício 23. Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{\operatorname{sen} x-\cos x}{1-\tan x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to\frac{\pi}{4}}\frac{\sin x-\cos x}{1-\tan x}.
O conteúdo envolvido é cálculo de limite do tipo 0/0, e precisaremos usar manipulação algébrica e identidades trigonométricas para simplificar.

Passo 2

Verificamos a substituição direta em x=\frac{\pi}{4}: \sin\frac{\pi}{4} - \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}=0 e 1-\tan\frac{\pi}{4}=1-1=0.
Portanto, temos a forma indeterminada 0/0.

Passo 3

Usamos a identidade \tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x},
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1-\tan x = 1 - \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\cos x - \sin x}{\cos x}.

Passo 4

Substituímos no quociente original e simplificamos:
\frac{\sin x - \cos x}{1-\tan x} = \frac{\sin x - \cos x}{(\cos x - \sin x)/\cos x} = (\sin x - \cos x)\,\frac{\cos x}{\cos x - \sin x} = -\,\cos x.
Aqui usamos \cos x-\sin x=-(\sin x-\cos x) para cancelar o fator.

Passo 5

Como a expressão simplificou para -\cos x, temos
\lim_{x\to\frac{\pi}{4}}\frac{\sin x - \cos x}{1-\tan x} = \lim_{x\to\frac{\pi}{4}}\bigl(-\cos x\bigr) = -\cos\frac{\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}.

Resposta

-\frac{\sqrt{2}}{2}

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