Exercício 8.1 Calcule a seguintes integrais de superfície
\iint_{S}\left(x^{2}+y^{2}\right) d Sonde S é a esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}.
Passo 1
O enunciado nos dá a superfície S que é a esfera de raio R definida por
x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}
e pede para calcular a integral de superfície
\iint_{S}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\,dS.
O conteúdo necessário envolve o conceito de integral de superfície e a parametrização em coordenadas esféricas, explorando também a simetria da esfera.
Passo 2
Parametrizamos a esfera por
\begin{cases} x = R\sin\varphi\cos\theta,\\\ y = R\sin\varphi\sin\theta,\\\ z = R\cos\varphi, \end{cases}
com \varphi\in[0,\pi] e \theta\in[0,2\pi]. O elemento de área é