Calcule a função derivada de f(x)=raizx^2-1 e determine seu domínio.

Passo 1

O enunciado pede para derivar a função
f(x)=raizx^2-1
e determinar o domínio onde essa derivada existe. Vamos usar a regra da cadeia para derivar f e antes observar seu domínio: para que f(x) esteja bem definida, precisamos de
x^2-1>=0
ou seja lvert xrvert>=1. Logo o domínio de f é
(-infty,-1]cup[1,infty)

Passo 2

Para aplicar a regra da cadeia, definimos u(x)=x^2-1. Assim f(x)=u(x)^1/2 e
f'(x)=tfrac12,u(x)^-1/2cdot u'(x)
Como u'(x)=2x, vem
f'(x)=12,(x^2-1)^-1/2cdot2x=xraizx^2-1

Passo 3

Agora, além de exigir x^2-1>=0 para f, precisamos de x^2-1neq0 no denominador de f'(x). Isso impõe
x^2-1>0Longrightarrowlvert xrvert>1
Portanto a derivada existe somente em
(-infty,-1)cup(1,infty)

Resposta

f'(x)=xraizx^2-1
Domínio de f': (-infty,-1)cup(1,infty).

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