Exercício 231. Calcule a derivada
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função dada. Informações fornecidas:
- A função é
. - A tarefa: encontrar
.
Passo 2
Primeiro reescrevo a função de uma forma que facilita usar regras básicas de derivação:
Esta forma transforma uma divisão em um produto, permitindo aplicar a regra do produto e a regra da cadeia de forma direta.
Passo 3
Vou lembrar e explicar as regras que vou usar (com exemplos simples):
- Regra da potência (power rule): se
com real, então
Exemplo: se
então
.
- Regra do produto: se
então
Exemplo: para
e
, tem-se
.
- Regra da cadeia: se
então
Exemplo: para
, tomar
e
. Então
e
, logo
Passo 4
Defino as duas funções do produto:
Calculo
usando a regra da potência:
Calculo
usando a regra da cadeia (como no exemplo do passo anterior):
Passo 5
Agora aplico a regra do produto:
Substituindo
:
Passo 6
Faço a simplificação algébrica passo a passo. Primeiro escrevo os termos com um fator comum:
Observo que ambos têm o fator comum
. Coloco em evidência:
Desenvolvo o parêntese:
Portanto
Passo 7
Escrevo a resposta numa forma fracionária mais convencional:
Breve comentário motivador: você pode usar também a regra do quociente diretamente e vai chegar ao mesmo resultado; escolhi o produto + cadeia porque costuma ser mais direto e com menos risco de erro ao manipular sinais.