Exercício 231. Calcule a derivada
y=\frac{t^{3}}{\left(t^{2}+1\right)^{2}}\

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função dada. Informações fornecidas:
  • A função é y=\dfrac{t^{3}}{\left(t^{2}+1\right)^{2}}.
  • A tarefa: encontrar y'=\dfrac{dy}{dt}.

Passo 2

Primeiro reescrevo a função de uma forma que facilita usar regras básicas de derivação:
y = t^{3}\,(t^{2}+1)^{-2}.
Esta forma transforma uma divisão em um produto, permitindo aplicar a regra do produto e a regra da cadeia de forma direta.

Passo 3

Vou lembrar e explicar as regras que vou usar (com exemplos simples):
  • Regra da potência (power rule): se f(t)=t^{n} com n real, então
f'(t)=n\,t^{n-1}.
Exemplo: se f(t)=t^{5} então f'(t)=5t^{4}.
  • Regra do produto: se y=u(t)\,v(t) então
y' = u'(t)\,v(t) + u(t)\,v'(t).
Exemplo: para u=t^{2} e v=\sin t, tem-se y' = 2t\sin t + t^{2}\cos t.
  • Regra da cadeia: se v(t)=g(h(t)) então
v'(t)=g'(h(t))\cdot h'(t).
Exemplo: para v(t)=(t^{2}+1)^{-2}, tomar g(x)=x^{-2} e h(t)=t^{2}+1. Então g'(x)=-2x^{-3} e h'(t)=2t, logo
v'(t)=-2\,(t^{2}+1)^{-3}\cdot 2t = -4t\,(t^{2}+1)^{-3}.

Passo 4

Defino as duas funções do produto:
u(t)=t^{3},\qquad v(t)=(t^{2}+1)^{-2}.
Calculo u'(t) usando a regra da potência:
u'(t)=3t^{2}.
Calculo v'(t) usando a regra da cadeia (como no exemplo do passo anterior):
v'(t) = -4t\,(t^{2}+1)^{-3}.

Passo 5

Agora aplico a regra do produto:
y' = u'(t)\,v(t) + u(t)\,v'(t).
Substituindo u, u', v, v':
y' = 3t^{2}\,(t^{2}+1)^{-2} + t^{3}\big(-4t\,(t^{2}+1)^{-3}\big).

Passo 6

Faço a simplificação algébrica passo a passo. Primeiro escrevo os termos com um fator comum:
y' = 3t^{2}\,(t^{2}+1)^{-2} - 4t^{4}\,(t^{2}+1)^{-3}.
Observo que ambos têm o fator comum t^{2}\,(t^{2}+1)^{-3}. Coloco em evidência:
y' = t^{2}\,(t^{2}+1)^{-3}\Big(3(t^{2}+1) - 4t^{2}\Big).
Desenvolvo o parêntese:
3(t^{2}+1) - 4t^{2} = 3t^{2}+3-4t^{2} = 3 - t^{2}.
Portanto
y' = t^{2}(3 - t^{2})\,(t^{2}+1)^{-3}.

Passo 7

Escrevo a resposta numa forma fracionária mais convencional:
y' = \dfrac{t^{2}\,(3 - t^{2})}{(t^{2}+1)^{3}}.
Breve comentário motivador: você pode usar também a regra do quociente diretamente e vai chegar ao mesmo resultado; escolhi o produto + cadeia porque costuma ser mais direto e com menos risco de erro ao manipular sinais.

Resposta

y'=\dfrac{t^{2}\,(3 - t^{2})}{(t^{2}+1)^{3}}

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