Calcule as derivadas a seguir
\\frac{d}{d y}\left(y^{3}-8\right)

Passo 1

O enunciado dá a função em termos de y e pede a derivada em relação a y:
  • Função: \;f(y)=y^{3}-8.
  • Pedir: \displaystyle \frac{d}{dy}\left(y^{3}-8\right).

Passo 2

O que significa calcular \displaystyle \frac{d}{dy}: é encontrar a taxa de variação instantânea de f em relação a y, ou geometricamente a inclinação da reta tangente ao gráfico de f num ponto. A notação \displaystyle \frac{d}{dy} indica que y é a variável independente.

Passo 3

Regras que vamos usar (explicadas de forma simples):
  • Regra da soma/linearidade: para quaisquer funções u(y) e v(y),
\frac{d}{dy}\big(u(y)+v(y)\big)=\frac{d}{dy}u(y)+\frac{d}{dy}v(y).
Isto diz que podemos derivar termo a termo.
  • Derivada de constante: se c é um número fixo, então
\frac{d}{dy}c=0.
Isso porque uma constante não muda quando y varia.
  • Regra da potência (power rule): para um expoente real n,
\frac{d}{dy}\big(y^{n}\big)=n\,y^{n-1}.
Aqui n é o expoente (no nosso caso n=3), e y é a variável.

Passo 4

Aplicando a linearidade, separamos a derivada em dois termos:
\frac{d}{dy}\left(y^{3}-8\right)=\frac{d}{dy}\big(y^{3}\big)-\frac{d}{dy}(8).

Passo 5

Derivada do primeiro termo usando a regra da potência com n=3:
\frac{d}{dy}\big(y^{3}\big)=3\,y^{2}.
Explicando: substitui-se n=3 na fórmula \dfrac{d}{dy}y^{n}=n y^{n-1}, obtendo 3y^{2}.

Passo 6

Derivada do segundo termo (constante):
\frac{d}{dy}(8)=0,
pois 8 não depende de y.

Passo 7

Somando os resultados dos termos:
\frac{d}{dy}\left(y^{3}-8\right)=3y^{2}-0=3y^{2}.
Pronto — resultado simples e direto.

Resposta

3y^{2}

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