Exercício 231. Calcule a derivada
f(x)=\frac{x \tan 3 x}{x^{2}+4}

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=\frac{x\tan(3x)}{x^{2}+4}
e pede para calcular a derivada f'(x). Informações relevantes fornecidas:
  • A função é uma razão (fração) entre duas funções de x.
  • O numerador é x\tan(3x).
  • O denominador é x^{2}+4.
  • Precisa-se do valor da derivada para x genérico (ou seja, uma expressão simbólica para f'(x)).

Passo 2

Identificar as regras de derivação que vamos usar (a explicação didática vem junto, passo a passo).
  • Quando temos uma função dada por uma fração \dfrac{u(x)}{v(x)}, usamos a regra do quociente:
\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^{2}},
onde u'(x) é a derivada de u e v'(x) é a derivada de v. A intuição: derivamos o numerador e o denominador separadamente e combinamos para manter a estrutura da divisão.
  • Aqui, vamos tomar
u(x)=x\tan(3x),\qquad v(x)=x^{2}+4.
Então precisamos calcular u'(x) e v'(x) antes de aplicar a fórmula do quociente.

Passo 3

Calcular u'(x). O numerador u(x)=x\tan(3x) é produto de duas funções, então usamos a regra do produto:
(gh)'=g'h+gh',
ou seja, a derivada do produto é a derivada do primeiro vezes o segundo mais o primeiro vezes a derivada do segundo.
Aplicando ao nosso caso, tomando g(x)=x e h(x)=\tan(3x):
  • g'(x)=1.
  • Para h(x)=\tan(3x) usamos a regra da derivada da tangente e a regra da cadeia. A derivada de \tan(t) em relação a t é \operatorname{sec}^{2}(t). Pela regra da cadeia, se t=3x então:
\frac{d}{dx}\tan(3x)=\operatorname{sec}^{2}(3x)\cdot\frac{d}{dx}(3x)=\operatorname{sec}^{2}(3x)\cdot 3 = 3\operatorname{sec}^{2}(3x).
Agora aplicando a regra do produto:
u'(x)=g'(x)h(x)+g(x)h'(x)=1\cdot\tan(3x)+x\cdot 3\operatorname{sec}^{2}(3x).
Portanto
u'(x)=\tan(3x)+3x\operatorname{sec}^{2}(3x).

Passo 4

Calcular v'(x). O denominador é v(x)=x^{2}+4. Derivando termo a termo:
  • A derivada de x^{2} é 2x.
  • A derivada de 4 (constante) é 0.
    Logo
v'(x)=2x.

Passo 5

Aplicar a regra do quociente com os resultados obtidos. Substituindo u, u', v e v' na fórmula
f'(x)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}},
temos
f'(x)=\frac{\big(\tan(3x)+3x\operatorname{sec}^{2}(3x)\big)\,(x^{2}+4)-\big(x\tan(3x)\big)\,(2x)}{(x^{2}+4)^{2}}.

Passo 6

Simplificar o numerador passo a passo para ficar com uma forma mais limpa.
Começando do numerador:
N(x)=\big(\tan(3x)+3x\operatorname{sec}^{2}(3x)\big)(x^{2}+4)-2x^{2}\tan(3x).
Distribuir o primeiro produto:
N(x)= (x^{2}+4)\tan(3x)+3x(x^{2}+4)\operatorname{sec}^{2}(3x)-2x^{2}\tan(3x).
Agrupar os termos que contêm \tan(3x):
(x^{2}+4)\tan(3x)-2x^{2}\tan(3x) = \big(x^{2}+4-2x^{2}\big)\tan(3x)=\big(4-x^{2}\big)\tan(3x).
Portanto o numerador simplificado fica
N(x)=\big(4-x^{2}\big)\tan(3x)+3x(x^{2}+4)\operatorname{sec}^{2}(3x).

Passo 7

Escrever a derivada final usando o numerador simplificado e o denominador ao quadrado:
f'(x)=\frac{\big(4-x^{2}\big)\tan(3x)+3x(x^{2}+4)\operatorname{sec}^{2}(3x)}{(x^{2}+4)^{2}}.
Esta é uma forma prática e relativamente compacta para usar na prova. Observações rápidas para a hora do exame:
  • Verifique cuidadosamente sinais ao combinar termos em \tan(3x).
  • Sempre mantenha a cadeia explícita ao derivar \tan(3x): aparece o fator 3 multiplicando \operatorname{sec}^{2}(3x).
  • Se precisar avaliar em ponto numérico, substituir x e calcular \tan(3x) e \operatorname{sec}^{2}(3x)=1/\cos^{2}(3x).

Resposta

f'(x)=\frac{\big(4-x^{2}\big)\tan(3x)+3x(x^{2}+4)\operatorname{sec}^{2}(3x)}{(x^{2}+4)^{2}}

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