Exercício 231. Calcule a derivada
f(x)=\frac{x \tan 3 x}{x^{2}+4}
f(x)=\frac{x \tan 3 x}{x^{2}+4}
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular a derivada
. Informações relevantes fornecidas:
- A função é uma razão (fração) entre duas funções de
. - O numerador é
. - O denominador é
. - Precisa-se do valor da derivada para
genérico (ou seja, uma expressão simbólica para ).
Passo 2
Identificar as regras de derivação que vamos usar (a explicação didática vem junto, passo a passo).
- Quando temos uma função dada por uma fração
, usamos a regra do quociente:
onde
é a derivada de
e
é a derivada de
. A intuição: derivamos o numerador e o denominador separadamente e combinamos para manter a estrutura da divisão.
- Aqui, vamos tomar
Então precisamos calcular
e
antes de aplicar a fórmula do quociente.
Passo 3
Calcular
. O numerador
é produto de duas funções, então usamos a regra do produto:
ou seja, a derivada do produto é a derivada do primeiro vezes o segundo mais o primeiro vezes a derivada do segundo.
Aplicando ao nosso caso, tomando
e
:
-
. - Para
usamos a regra da derivada da tangente e a regra da cadeia. A derivada de em relação a é . Pela regra da cadeia, se então:
Agora aplicando a regra do produto:
Portanto
Passo 4
Calcular
. O denominador é
. Derivando termo a termo:
- A derivada de
é . - A derivada de
(constante) é .
Logo
Passo 5
Aplicar a regra do quociente com os resultados obtidos. Substituindo
,
,
e
na fórmula
temos
Passo 6
Simplificar o numerador passo a passo para ficar com uma forma mais limpa.
Começando do numerador:
Começando do numerador:
Distribuir o primeiro produto:
Agrupar os termos que contêm
:
Portanto o numerador simplificado fica
Passo 7
Escrever a derivada final usando o numerador simplificado e o denominador ao quadrado:
Esta é uma forma prática e relativamente compacta para usar na prova. Observações rápidas para a hora do exame:
- Verifique cuidadosamente sinais ao combinar termos em
. - Sempre mantenha a cadeia explícita ao derivar
: aparece o fator multiplicando . - Se precisar avaliar em ponto numérico, substituir
e calcular e .