Exercício 15 (F.2.1 Exs.)
Calcule a série de Fourier das seguintes funções f:]-pi, pi[ C :
f(theta)=cctheta, & se theta in[0, pi[ 0, & se theta in]-pi, 0].

Passo 1

O enunciado pede a série de Fourier de período
O conteúdo aqui é a expansão de Fourier em cossenos e senos, cujos coeficientes são
Como , todos os integrais de a desaparecem, e reduzimos as integrais a a .

Passo 2

Cálculo de a0:
a0=1piintegral0^pitheta,dtheta =1pil[theta^22r]0^pi =1picdotpi^22 =pi2

Passo 3

Cálculo de an para n>=1:
an=1piintegral0^pithetacos(ntheta),dtheta
Usando integração por partes com u=theta, dv=cos(ntheta)dtheta, obtemos
integral0^pithetacos(ntheta),dtheta =1-(-1)^nn^2
Logo
an=1pi,1-(-1)^nn^2
Note que 1-(-1)^n=0 se n é par e 2 se n é ímpar.

Passo 4

Cálculo de bn para n>=1:
bn=1piintegral0^pithetasin(ntheta),dtheta
Integração por partes com u=theta, dv=sin(ntheta)dtheta
integral0^pithetasin(ntheta),dtheta =-pi(-1)^nn
Portanto
bn=-pi(-1)^nnpi =-(-1)^nn =(-1)^n+1n

Passo 5

Montagem da série de Fourier. Em geral
f(theta)sima02 +sumn=1^inftyl(ancos(ntheta)+bnsin(ntheta)r)
Substituindo a0,an,bn:
f(theta) =pi4 +sumn=1^inftygl(1-(-1)^npi n^2cos(ntheta) +(-1)^n+1nsin(ntheta)gr)
Em particular, os termos em cosseno só aparecem para n ímpar, com coeficiente tfrac2pi n^2.

Resposta

boxed f(theta) =pi4 +sumn=1^inftygl(1-(-1)^npi n^2cos(ntheta) +(-1)^n+1nsin(ntheta)gr)

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