Exercício 24. Encontre e classifique os pontos críticos das funções:
(i) f(x, y)=x^3+x-4 x y-2 y^2

Passo 1

O enunciado pede para encontrar e classificar os pontos críticos de
f(x,y)=x^3+x-4xy-2y^2
Vamos usar que pontos críticos satisfazem nabla f=(fx,fy)=(0,0) e, em seguida, aplicar o teste da matriz Hessiana para classificar.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais de f:
fx=partialpartial x(x^3+x-4xy-2y^2)=3x^2+1-4y,
fy=partialpartial y(x^3+x-4xy-2y^2)=-4x-4y
Igualando a zero,
3x^2+1-4y=0,
-4x-4y=0

Passo 3

Da segunda equação temos -4(x+y)=0, logo
y=-x
Substituindo em 3x^2+1-4y=0:
3x^2+1-4(-x)=3x^2+1+4x=0 ;;Longrightarrow;;3x^2+4x+1=0
As raízes são
x=-4pmraiz16-126=-4pm26,
isto é x=-1 ou x=-tfrac13. Então
(x,y)=(-1,1) e l(-tfrac13,tfrac13r)

Passo 4

Para classificar, montamos a matriz Hessiana:
H= fxx&fxy[6pt] fyx&fyy = 6x&-4[3pt] -4&-4
O discriminante é
D=fxxfyy-fxy^2 =(6x)(-4)-(-4)^2=-24x-16=-(24x+16) ]

Passo 5

Avaliando em cada ponto:
1. Em (x,y)=(-1,1):
D = -l(24(-1)+16r)=-(-24+16)=8>0, fxx=6(-1)=-6<0
Como D>0 e fxx<0, é máximo local.
2. Em l(x,y)=(-tfrac13,tfrac13r):
D = -l(24(-tfrac13)+16r)=-(-8+16)=-8<0
Como D<0, é ponto de sela.

Resposta

Pontos críticos e classificação:
(-1,1) é máximo local.
l(-tfrac13,tfrac13r) é ponto de sela.

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