Exercício 33 Dado R=\left(\begin{array}{cc}\cos (\theta) & -\operatorname{sen}(\theta) \\\ \operatorname{sen}(\theta) & \cos (\theta)\end{array}\right) mostre que R é não singular e R^{-1}=R^{T}.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
R=\begin{pmatrix} \cos(\theta) & -\operatorname{sen}(\theta)\\[4pt] \operatorname{sen}(\theta) & \cos(\theta) \end{pmatrix}
e pede duas coisas: (i) mostrar que R é não singular (ou seja, invertível) e (ii) mostrar que R^{-1}=R^{T}.
Informações relevantes fornecidas: os elementos da matriz são funções trigonométricas de \theta (onde \operatorname{sen}(\theta) é o seno de \theta).]

Passo 2

Lembrete (teoria necessária): uma matriz quadrada é não singular (invertível) se, e somente se, seu determinante for diferente de zero. Além disso, para mostrar que R^{-1}=R^{T} basta provar que
R^{T}R=I
onde I é a matriz identidade 2\times2. De fato, se R^{T}R=I então R^{T} é a inversa à esquerda de R; como R é quadrada isso implica que R^{T} é a inversa de R, ou seja R^{-1}=R^{T}. (Moral: provar determinante não nulo e que o produto R^{T}R é identidade resolve o problema.)

Passo 3

Calcular o determinante de R. Usando a fórmula do determinante para matrizes 2\times2,
\det(R)=\cos(\theta)\cdot\cos(\theta)-\big(-\operatorname{sen}(\theta)\big)\cdot\operatorname{sen}(\theta).
Simplificando,
\det(R)=\cos^{2}(\theta)+\operatorname{sen}^{2}(\theta).
Pela identidade trigonométrica fundamental,
\cos^{2}(\theta)+\operatorname{sen}^{2}(\theta)=1.
Portanto
\det(R)=1.

Passo 4

Conclusão sobre não singularidade: como \det(R)=1\neq 0, a matriz R é não singular (invertível). Bom! Primeiro item provado.

Passo 5

Agora vamos calcular a transposta R^{T}. Transpor troca linhas por colunas, então
R^{T}=\begin{pmatrix} \cos(\theta) & \operatorname{sen}(\theta)\\[4pt] -\operatorname{sen}(\theta) & \cos(\theta) \end{pmatrix}.]

Passo 6

Mostrar que R^{T}R=I fazendo a multiplicação matriz a matriz e verificando cada entrada. Escrevemos o produto:
R^{T}R= \begin{pmatrix} \cos(\theta) & \operatorname{sen}(\theta)\\[4pt] -\operatorname{sen}(\theta) & \cos(\theta) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos(\theta) & -\operatorname{sen}(\theta)\\[4pt] \operatorname{sen}(\theta) & \cos(\theta) \end{pmatrix}.
Calculamos entrada a entrada.
Entrada (1,1):
\cos(\theta)\cos(\theta)+\operatorname{sen}(\theta)\operatorname{sen}(\theta) =\cos^{2}(\theta)+\operatorname{sen}^{2}(\theta)=1.
Entrada (1,2):
\cos(\theta)\big(-\operatorname{sen}(\theta)\big)+\operatorname{sen}(\theta)\cos(\theta) =-\cos(\theta)\operatorname{sen}(\theta)+\operatorname{sen}(\theta)\cos(\theta)=0.
Entrada (2,1):
-\operatorname{sen}(\theta)\cos(\theta)+\cos(\theta)\operatorname{sen}(\theta) =-\operatorname{sen}(\theta)\cos(\theta)+\cos(\theta)\operatorname{sen}(\theta)=0.
Entrada (2,2):
-\operatorname{sen}(\theta)\big(-\operatorname{sen}(\theta)\big)+\cos(\theta)\cos(\theta) =\operatorname{sen}^{2}(\theta)+\cos^{2}(\theta)=1.
Assim obtemos
R^{T}R=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}=I.]

Passo 7

Conclusão sobre a inversa: como R é quadrada e satisfaz R^{T}R=I, segue que R^{T} é a inversa de R. Logo
R^{-1}=R^{T}.

Resposta

R é não singular (pois \det(R)=1).
R^{-1}=R^{T}.

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