Exercício 33 Dado
mostre que
é não singular e
.
Passo 1
O enunciado dá a matriz
e pede duas coisas: (i) mostrar que
é não singular (ou seja, invertível) e (ii) mostrar que
.
Informações relevantes fornecidas: os elementos da matriz são funções trigonométricas de (onde
é o seno de
).]
Informações relevantes fornecidas: os elementos da matriz são funções trigonométricas de
Passo 2
Lembrete (teoria necessária): uma matriz quadrada é não singular (invertível) se, e somente se, seu determinante for diferente de zero. Além disso, para mostrar que
basta provar que
onde
é a matriz identidade
. De fato, se
então
é a inversa à esquerda de
; como
é quadrada isso implica que
é a inversa de
, ou seja
. (Moral: provar determinante não nulo e que o produto
é identidade resolve o problema.)
Passo 3
Calcular o determinante de
. Usando a fórmula do determinante para matrizes
,
Simplificando,
Pela identidade trigonométrica fundamental,
Portanto
Passo 4
Conclusão sobre não singularidade: como
, a matriz
é não singular (invertível). Bom! Primeiro item provado.
Passo 5
Agora vamos calcular a transposta
. Transpor troca linhas por colunas, então
Passo 6
Mostrar que
fazendo a multiplicação matriz a matriz e verificando cada entrada. Escrevemos o produto:
Calculamos entrada a entrada.
Entrada
:
Entrada
:
Entrada
:
Entrada
:
Assim obtemos
Passo 7
Conclusão sobre a inversa: como
é quadrada e satisfaz
, segue que
é a inversa de
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