Exercício 1.5.24. Quantas permutações diferentes da palavra ITATIAIA que têm a letra A em primeiro lugar ou a letra I em último?

Passo 1

O enunciado pede o número de permutações distintas da palavra “ITATIAIA” (8 letras, com 3 A, 3 I e 2 T) que satisfazem “A em primeiro lugar ou I em último”. Vamos usar permutações de multiconjuntos e o princípio da inclusão–exclusão.

Passo 2

Contamos primeiro quantas têm A na posição 1. Fixando um A ali, restam 7 posições com 2 A, 3 I e 2 T, cujo total é
7!2!,3!,2! = 50402cdot6cdot2 =210

Passo 3

Agora contamos quantas têm I na posição 8. Fixando um I ali, restam 7 posições com 3 A, 2 I e 2 T, cujo total é
7!3!,2!,2! = 50406cdot2cdot2 =210

Passo 4

Em seguida calculamos quantas satisfazem simultaneamente “A em 1” e “I em 8”. Fixando esses, ficam 6 posições com 2 A, 2 I e 2 T, total
6!2!,2!,2! = 7202cdot2cdot2 =90

Passo 5

Aplicando inclusão–exclusão,
210 + 210 - 90 = 330

Resposta

330

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