Exercício 1.5.25. Um investidor tem 20 mil reais para aplicar entre 4 investimentos possíveis. Cada aplicação deve ser feita em unidades de mil reais. Se o valor total de 20 mil for investido, quantas estratégias de aplicação diferentes são possíveis? E se nem todo o dinheiro for investido?

Passo 1

O enunciado diz que um investidor tem 20 (mil reais) para distribuir entre 4 aplicações possíveis, em unidades de mil reais. Vamos modelar isso como um problema de combinatória, em que cada aplicação recebe uma quantidade inteira não-negativa de “estrelas” (mil reais).

Passo 2

Para o caso em que todo o dinheiro deve ser investido, definimos variáveis
x1,x2,x3,x4>=0
tais que
x1 + x2 + x3 + x4 = 20
Cada solução inteira não-negativa desse sistema corresponde a uma estratégia de aplicação.

Passo 3

Pelo teorema das estrelas e barras, o número de soluções não-negativas de
x1 + dots + xm = n
é
binomn + m -1m -1
Aqui m=4 e n=20, então
binom20 + 4 -14 -1 = binom233 = 1771

Passo 4

Se nem todo o dinheiro for investido, temos
x1 + x2 + x3 + x4 <= 20
Introduzimos uma variável folga x5>=0 de modo que
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 20
Agora são m=5 variáveis somando 20, e o número de soluções é
binom20 + 5 -15 -1 = binom244 = 10626

Resposta

Se todo o dinheiro for investido: 1771.
Se nem todo o dinheiro for investido: 10626.

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