Exercício 1.5.25. Um investidor tem 20 mil reais para aplicar entre 4 investimentos possíveis. Cada aplicação deve ser feita em unidades de mil reais. Se o valor total de 20 mil for investido, quantas estratégias de aplicação diferentes são possíveis? E se nem todo o dinheiro for investido?
Passo 1
O enunciado diz que um investidor tem
(mil reais) para distribuir entre
aplicações possíveis, em unidades de mil reais. Vamos modelar isso como um problema de combinatória, em que cada aplicação recebe uma quantidade inteira não-negativa de “estrelas” (mil reais).
Passo 2
Para o caso em que todo o dinheiro deve ser investido, definimos variáveis
tais que
Cada solução inteira não-negativa desse sistema corresponde a uma estratégia de aplicação.
Passo 3
Pelo teorema das estrelas e barras, o número de soluções não-negativas de
é
Aqui
e
, então
Passo 4
Se nem todo o dinheiro for investido, temos
Introduzimos uma variável folga
de modo que
Agora são
variáveis somando
, e o número de soluções é
Resposta
Se todo o dinheiro for investido:
.
Se nem todo o dinheiro for investido: .
Se nem todo o dinheiro for investido: