Exercício 24. Resolva as seguintes inequações:
\frac{1}{(x-1)^{2}(x-2)} \leq \frac{1}{\left(x^{2}-1\right)(x+3)}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
\frac{1}{(x-1)^{2}(x-2)} \leq \frac{1}{\left(x^{2}-1\right)(x+3)}.
Informações relevantes dadas:
  • A expressão envolve frações racionais; pontos que anulam qualquer denominador são excluídos do domínio.
  • Denominadores aparecem em x=1 (com multiplicidade 2), x=2, x^2-1=0\Rightarrow x=\pm1 e x+3=0\Rightarrow x=-3.
Lista dos pontos que anulam algum denominador (portanto proibidos): x=-3,\,-1,\,1,\,2.
Pergunta a responder: para quais x (reais) a desigualdade é verdadeira?

Passo 2

Estratégia geral (sem ainda calcular): transformar a desigualdade subtraindo o segundo membro do primeiro, obter uma única fração racional, identificar zeros do numerador e zeros do denominador, e analisar o sinal da fração em cada intervalo determinado por esses pontos críticos. Lembre-se: pontos onde o denominador é zero não podem ser incluídos; pontos onde o numerador é zero (e o denominador não) correspondem a igualdade e podem ser incluídos quando a desigualdade permite =.
Agora fazemos a operação algébrica para juntar os dois termos numa única fração.

Passo 3

Escrevendo a desigualdade com todos os denominadores explícitos e fatorando x^2-1:
\frac{1}{(x-1)^{2}(x-2)} \le \frac{1}{(x-1)(x+1)(x+3)}.
Passamos tudo para o lado esquerdo:
\frac{1}{(x-1)^{2}(x-2)} - \frac{1}{(x-1)(x+1)(x+3)} \le 0.
O mínimo múltiplo comum dos denominadores é
(x-1)^{2}(x-2)(x+1)(x+3).

Passo 4

Colocando sobre o mesmo denominador (mostrando o numerador resultante): multiplicando numeradores para igualar o denominador comum,
\frac{(x+1)(x+3) - (x-1)(x-2)}{(x-1)^{2}(x-2)(x+1)(x+3)} \le 0.
Agora expandimos e simplificamos o numerador:
(x+1)(x+3) = x^{2}+4x+3,
(x-1)(x-2) = x^{2}-3x+2.
Subtraindo:
(x^{2}+4x+3) - (x^{2}-3x+2) = 7x+1.
Logo a desigualdade é equivalente a
\frac{7x+1}{(x-1)^{2}(x-2)(x+1)(x+3)} \le 0.

Passo 5

Determinar os pontos críticos (zeros do numerador e zeros do denominador):
  • Numerador: 7x+1=0 \Rightarrow x=-\dfrac{1}{7}.
  • Denominador zera em x=1 (multiplicidade 2), x=2, x=-1, x=-3. Esses valores não pertencem ao domínio.
Assim, os pontos que dividem a reta real em intervalos são, em ordem crescente:
-3,\quad -1,\quad -\tfrac{1}{7},\quad 1,\quad 2.

Passo 6

Observação sobre multiplicidade e sinal:
  • O fator (x-1)^{2} tem multiplicidade par; isto é importante: um fator de multiplicidade par não muda o sinal ao atravessar a raiz (porém anula o denominador em x=1 — ponto proibido).
  • Para determinar o sinal da fração podemos ignorar o sinal de (x-1)^{2} no sentido de mudança de sinal (ele é sempre positivo para x\neq1), de modo que o sinal da fração é o sinal de
\frac{7x+1}{(x-2)(x+1)(x+3)}.

Passo 7

Fazemos uma tabela de sinais por intervalo. Primeiro, sinais de cada fator:
  • Para 7x+1:
    • é negativo se x<-\tfrac{1}{7},
    • zero em x=-\tfrac{1}{7},
    • positivo se x>-\tfrac{1}{7}.
  • Para os fatores do denominador (x-2),(x+1),(x+3):
    • x+3: negativo em (-\infty,-3), zero em -3, positivo em (-3,\infty).
    • x+1: negativo em (-\infty,-1), zero em -1, positivo em (-1,\infty).
    • x-2: negativo em (-\infty,2), zero em 2, positivo em (2,\infty).
Agora o produto (x-2)(x+1)(x+3) tem sinais em cada intervalo (teste por um valor representativo):
  • Em (-\infty,-3) (ex.: x=-4): sinais (-, -, -) → produto -.
  • Em (-3,-1) (ex.: x=-2): sinais (-, -, +) → produto +.
  • Em (-1,-\tfrac{1}{7}) (ex.: x=-0{,}5): sinais (-, +, +) → produto -.
  • Em (-\tfrac{1}{7},1) (ex.: x=0): sinais (-, +, +) → produto -.
  • Em (1,2) (ex.: x=1{,}5): sinais (-, +, +) → produto -.
  • Em (2,\infty) (ex.: x=3): sinais (+, +, +) → produto +.
Lembrete: o fator (x-1)^{2} é positivo em todos os intervalos (exceto em x=1 onde ele zera), portanto não altera estes sinais.

Passo 8

Agora combinamos o sinal do numerador 7x+1 com o sinal do produto do denominador:
  • Em (-\infty,-3): 7x+1<0 e denominador <0 → fração +.
  • Em (-3,-1): 7x+1<0 e denominador >0 → fração -.
  • Em (-1,-\tfrac{1}{7}): 7x+1<0 e denominador <0 → fração +.
  • Em (-\tfrac{1}{7},1): 7x+1>0 e denominador <0 → fração -.
  • Em (1,2): 7x+1>0 e denominador <0 → fração -.
  • Em (2,\infty): 7x+1>0 e denominador >0 → fração +.
Recordando que queremos os x tais que a fração seja menor ou igual a zero, ou seja, os intervalos onde a fração é negativa e os pontos onde a fração é zero (caso o denominador não seja zero ali).

Passo 9

Identificando os intervalos e pontos que satisfazem \le 0:
  • A fração é negativa em (-3,-1), em (-\tfrac{1}{7},1) e em (1,2). Todos esses intervalos não incluem os pontos onde o denominador se anula (os extremos -3, -1, 1, 2 são proibidos).
  • A fração é zero em x=-\tfrac{1}{7} (numerador zero) e nesse ponto o denominador não é zero (pois -\tfrac{1}{7} não é nenhum de -3,-1,1,2), então podemos incluir x=-\tfrac{1}{7} devido ao sinal de igualdade permitido.
Portanto a solução é a união dos intervalos onde a fração é negativa mais o ponto onde é zero:
(-3,-1)\\ \cup\\ \left\{-\tfrac{1}{7}\right\}\\ \cup\\ \left(-\tfrac{1}{7},1\right)\\ \cup\\ (1,2).
Juntando o ponto -\tfrac{1}{7} com o intervalo à direita obtemos
(-3,-1)\\ \cup\\ \left[-\tfrac{1}{7},1\right)\\ \cup\\ (1,2).

Resposta

(-3,-1)\cup\left[-\dfrac{1}{7},1\right)\cup(1,2)

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