Exercício 24. Resolva as seguintes inequações:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a inequação
Informações relevantes dadas:
- A expressão envolve frações racionais; pontos que anulam qualquer denominador são excluídos do domínio.
- Denominadores aparecem em
(com multiplicidade 2), , e .
Lista dos pontos que anulam algum denominador (portanto proibidos):
.
Pergunta a responder: para quais (reais) a desigualdade é verdadeira?
Pergunta a responder: para quais
Passo 2
Estratégia geral (sem ainda calcular): transformar a desigualdade subtraindo o segundo membro do primeiro, obter uma única fração racional, identificar zeros do numerador e zeros do denominador, e analisar o sinal da fração em cada intervalo determinado por esses pontos críticos. Lembre-se: pontos onde o denominador é zero não podem ser incluídos; pontos onde o numerador é zero (e o denominador não) correspondem a igualdade e podem ser incluídos quando a desigualdade permite
.
Agora fazemos a operação algébrica para juntar os dois termos numa única fração.
Passo 3
Escrevendo a desigualdade com todos os denominadores explícitos e fatorando
:
Passamos tudo para o lado esquerdo:
O mínimo múltiplo comum dos denominadores é
Passo 4
Colocando sobre o mesmo denominador (mostrando o numerador resultante): multiplicando numeradores para igualar o denominador comum,
Agora expandimos e simplificamos o numerador:
Subtraindo:
Logo a desigualdade é equivalente a
Passo 5
Determinar os pontos críticos (zeros do numerador e zeros do denominador):
- Numerador:
- Denominador zera em
(multiplicidade ), , , . Esses valores não pertencem ao domínio.
Assim, os pontos que dividem a reta real em intervalos são, em ordem crescente:
Passo 6
Observação sobre multiplicidade e sinal:
- O fator
tem multiplicidade par; isto é importante: um fator de multiplicidade par não muda o sinal ao atravessar a raiz (porém anula o denominador em — ponto proibido). - Para determinar o sinal da fração podemos ignorar o sinal de
no sentido de mudança de sinal (ele é sempre positivo para ), de modo que o sinal da fração é o sinal de
Passo 7
Fazemos uma tabela de sinais por intervalo. Primeiro, sinais de cada fator:
-
Para
: - é negativo se
, - zero em
, - positivo se
.
- é negativo se
-
Para os fatores do denominador
: -
: negativo em , zero em , positivo em . -
: negativo em , zero em , positivo em . -
: negativo em , zero em , positivo em .
-
Agora o produto
tem sinais em cada intervalo (teste por um valor representativo):
- Em
(ex.: ): sinais → produto . - Em
(ex.: ): sinais → produto . - Em
(ex.: ): sinais → produto . - Em
(ex.: ): sinais → produto . - Em
(ex.: ): sinais → produto . - Em
(ex.: ): sinais → produto .
Lembrete: o fator
é positivo em todos os intervalos (exceto em
onde ele zera), portanto não altera estes sinais.
Passo 8
Agora combinamos o sinal do numerador
com o sinal do produto do denominador:
- Em
: e denominador → fração . - Em
: e denominador → fração . - Em
: e denominador → fração . - Em
: e denominador → fração . - Em
: e denominador → fração . - Em
: e denominador → fração .
Recordando que queremos os
tais que a fração seja menor ou igual a zero, ou seja, os intervalos onde a fração é negativa e os pontos onde a fração é zero (caso o denominador não seja zero ali).
Passo 9
Identificando os intervalos e pontos que satisfazem
:
- A fração é negativa em
, em e em . Todos esses intervalos não incluem os pontos onde o denominador se anula (os extremos -3, -1, 1, 2 são proibidos). - A fração é zero em
(numerador zero) e nesse ponto o denominador não é zero (pois não é nenhum de ), então podemos incluir devido ao sinal de igualdade permitido.
Portanto a solução é a união dos intervalos onde a fração é negativa mais o ponto onde é zero:
Juntando o ponto
com o intervalo à direita obtemos