Questão 4 (1,8 pontos) Em cada item faça o que se pede:
(
) Sabendo que o polinômio característico de
é
e que
não é diagonalizável, determine os possíveis valores das multiplicidades geométricas de seus autovalores.
(
Passo 1
O enunciado diz que
tem polinômio característico
logo os autovalores são
com multiplicidade algébrica
e
com multiplicidade algébrica
. Além disso
não é diagonalizável, isto é, pelo menos uma das multiplicidades geométricas é estritamente menor que a algébrica.
Conteúdo: relações entre multiplicidades algébrica e geométrica de autovalores e critério de diagonalizabilidade.
Passo 2
Teoria necessária:
- Para cada autovalor
temos onde é a multiplicidade algébrica e a geométrica. -
é diagonalizável se, e somente se, para todo autovalor vale . - Aqui, por ser não diagonalizável, existe pelo menos um
tal que
Passo 3
Aplicando aos nossos autovalores:
- Para
temos - Para
temos
E como
não é diagonalizável, não vale simultaneamente
Portanto pelo menos um destes é estritamente menor que a algébrica.
Resposta
Escrevendo
os valores possíveis são
com a única proibição
.
Em particular, podem ocorrer, por exemplo, todas as combinações