Questão 4 (1,8 pontos) Em cada item faça o que se pede:
( 0,8 \mathrm{pt} ) Sabendo que o polinômio característico de B \in M_{9}(\mathbb{R}) é p(\lambda)=(\lambda+23)^{3}(\lambda-77)^{6} e que B não é diagonalizável, determine os possíveis valores das multiplicidades geométricas de seus autovalores.

Passo 1

O enunciado diz que B\in M_{9}(\mathbb{R}) tem polinômio característico
p(\lambda)=(\lambda+23)^{3}(\lambda-77)^{6}
logo os autovalores são \lambda_{1}=-23 com multiplicidade algébrica 3 e \lambda_{2}=77 com multiplicidade algébrica 6. Além disso B não é diagonalizável, isto é, pelo menos uma das multiplicidades geométricas é estritamente menor que a algébrica.
Conteúdo: relações entre multiplicidades algébrica e geométrica de autovalores e critério de diagonalizabilidade.

Passo 2

Teoria necessária:
  • Para cada autovalor \lambda_{i} temos 1 \le m_{g}(\lambda_{i}) \le m_{a}(\lambda_{i})onde m_{a} é a multiplicidade algébrica e m_{g} a geométrica.
  • B é diagonalizável se, e somente se, para todo autovalor \lambda_{i} vale m_{g}(\lambda_{i})=m_{a}(\lambda_{i}).
  • Aqui, por ser não diagonalizável, existe pelo menos um i tal que m_{g}(\lambda_{i}) < m_{a}(\lambda_{i}).

Passo 3

Aplicando aos nossos autovalores:
  • Para \lambda_{1}=-23 temos 1 \le m_{g}(-23)\le 3.
  • Para \lambda_{2}=77 temos 1 \le m_{g}(77)\le 6.
E como B não é diagonalizável, não vale simultaneamente
m_{g}(-23)=3 \quad\text{e}\quad m_{g}(77)=6.
Portanto pelo menos um destes é estritamente menor que a algébrica.

Resposta

Escrevendo
m_{g}(-23)=k,\quad m_{g}(77)=\ell,
os valores possíveis são
1\le k\le 3,\quad 1\le \ell\le 6,
com a única proibição (k,\ell)\neq (3,6).
Em particular, podem ocorrer, por exemplo, todas as combinações
(k,\ell)\in\{1,2,3\}\times\{1,2,3,4,5,6\}\setminus\{(3,6)\}.

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