Exercício 24. Seja X uma variável aleatória contínua com densidade dada por
f(x)=cx^3, x >= 1
Obtenha:
(a) o valor de c.
(b) a probabilidade de X ser maior que 2 .
© a função de distribuição de X.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que X é uma variável contínua com densidade
f(x)=cx^3, x>=1
E pede:
(a) achar o valor de (normalização da densidade),
(b) calcular ,
© obter a função de distribuição acumulada (CDF) .
Matéria envolvida: variáveis aleatórias contínuas, densidade de probabilidade, normalização de PDF, cálculo de probabilidades via integração, definição de CDF. Vamos precisar lembrar que a área total sob a PDF tem de ser 1 e usar integrais de potências.

Passo 2

(a) Encontrar integral-infty^infty f(x),dx ;=;1 pela condição
integral1^infty cx^3,dx = 1
Como integral x^-3,dx = integral x^-(3),dx = x^-2-2 = -12,x^2, para c;l[-tfrac12,x^2r]1^infty = cl(0 - l(-tfrac12cdot1^2r)r) = c!cdot!12 =1 ;Longrightarrow; c=2 , basta integrar de 1 a :
Lembrando que
temos

Passo 3

(b) Agora Pr(X>2)=integral2^infty f(x),dx =integral2^infty2x^3,dx . Por definição,
integral2^infty x^-3,dx =l[-tfrac12,x^2r]2^infty =0 - l(-tfrac12cdot2^2r) =18
Fazendo a integral (mesmo antiderivado de antes):
Pr(X>2)=2cdot18=14
Multiplicando pelo 2:

Passo 4

© Função de distribuição acumulada F(x)=integral1^x2u^3,du =2l[-tfrac12,u^2r]1^x = -l[1u^2r]1^x = -l(1x^2-1r) =1-1x^2 .
  • Para , .
  • Para ,

Resposta

(a) F(x)= 0, & x<1,[6pt] 1-dfrac1x^2, & x>=1 .
(b) .
©

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