Prohilema 7
Quantos divisores naturais possui o número 360? Quantos são pares?

Passo 1

Vamos resolver o problema de descobrir quantos divisores naturais o número 360 possui e quantos deles são pares. Para isso, vamos usar conceitos de fatoração prima e cálculo do número de divisores. Isso vai nos ajudar a entender como decompor o número em fatores primos e, a partir disso, determinar a quantidade de divisores totais e os divisores pares.

Passo 2

Primeiro, precisamos fatorar o número 360 em seus fatores primos. Fatoração prima é o processo de dividir um número pelos menores números primos possíveis até que o resultado seja 1.
Vamos fazer isso passo a passo:
  • 360 ÷ 2 = 180
  • 180 ÷ 2 = 90
  • 90 ÷ 2 = 45 (Aqui, não podemos mais dividir por 2)
  • 45 ÷ 3 = 15
  • 15 ÷ 3 = 5
  • 5 ÷ 5 = 1
Então, a fatoração prima de 360 é:
360 = 2^3 times 3^2 times 5^1

Passo 3

Agora que temos a fatoração prima de 360, podemos calcular o número total de divisores naturais. A fórmula para encontrar o número de divisores a partir da fatoração prima é multiplicar cada um dos expoentes dos fatores primos aumentados de 1.
Aplicando a fórmula:
Número total de divisores = (3 + 1) times (2 + 1) times (1 + 1) = 4 times 3 times 2 = 24 ú
Então, 360 possui 24 divisores naturais.

Passo 4

Para descobrir quantos desses divisores são pares, precisamos considerar que um número par sempre tem pelo menos um fator 2. Portanto, vamos recalcular levando em conta que o fator 2 deve estar presente.
Na fatoração de 360:
  • O expoente de 2 pode ser 1, 2 ou 3 (já que pelo menos um 2 está presente).
  • O expoente de 3 pode ser 0, 1 ou 2.
  • O expoente de 5 pode ser 0 ou 1.
Aplicando a fórmula novamente:
Número de divisores pares = (3) times (2 + 1) times (1 + 1) = 3 times 3 times 2 = 18 ú
Então, de todos os divisores de 360, 18 são pares.

Resposta

O número 360 possui 24 divisores naturais, dos quais 18 são pares.

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