Prehlians 6
O conjunto A possui 4 elementos e o conjunto B possui 7 elementos. Quantas são as funções f: A B? Quantas são as funções injetoras f: A B?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois conjuntos: o conjunto $ A $ com 4 elementos e o conjunto $ B $ com 7 elementos. Precisamos descobrir duas coisas:
  1. Quantas funções $ f: A \rightarrow B $ existem.
  2. Quantas dessas funções são injetoras.
Para isso, vamos usar conceitos de funções e combinatória. Não se preocupa que eu vou explicar tudo direitinho!

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre funções gerais. Uma função $ f: A \rightarrow B $ associa cada elemento de $ A $ a um elemento de $ B $. Como $ A $ tem 4 elementos e $ B $ tem 7, cada elemento de $ A $ pode ser mapeado para qualquer um dos 7 elementos de $ B $.
Então, para cada um dos 4 elementos de $ A $, temos 7 opções no $ B $. Isso significa que o número total de funções é $ 7 $ multiplicado por si mesmo 4 vezes, ou seja, $ 7^4 $.

Passo 3

Agora, vamos calcular $ 7^4 $:
7^4
Então, existem 2401 funções de $ A $ para $ B $.

Passo 4

Agora, vamos para as funções injetoras. Uma função é injetora se elementos diferentes de $ A $ são mapeados para elementos diferentes de $ B $. Em outras palavras, não pode ter dois elementos de $ A $ apontando para o mesmo elemento de $ B $.
Para contar isso, usamos o conceito de arranjo. Queremos saber de quantas maneiras podemos selecionar e ordenar 4 elementos distintos de $ B $ para mapear os 4 elementos de $ A $.
A fórmula para o número de arranjos de $ n $ elementos tomados $ k $ a $ k $ é:
A
Aqui, $ n = 7 $ e $ k = 4 $. Então,
B
Vamos calcular isso passo a passo.

Passo 5

Calculando $ 7! $ e $ 3! $:
7!
3!
Agora, divide $ 7! $ por $ 3! $:
7! = 7 times 6 times 5 times 4 times 3 times 2 times 1 = 5040
Então, existem 840 funções injetoras de $ A $ para $ B $.

Resposta

Existem 2401 funções de $ A $ para $ B $ e 840 funções injetoras de $ A $ para $ B $.

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