Prehlians 6
O conjunto
possui 4 elementos e o conjunto
possui 7 elementos. Quantas são as funções
? Quantas são as funções injetoras
?
O conjunto
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois conjuntos: o conjunto $ A $ com 4 elementos e o conjunto $ B $ com 7 elementos. Precisamos descobrir duas coisas:
- Quantas funções $ f: A \rightarrow B $ existem.
- Quantas dessas funções são injetoras.
Para isso, vamos usar conceitos de funções e combinatória. Não se preocupa que eu vou explicar tudo direitinho!
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre funções gerais. Uma função $ f: A \rightarrow B $ associa cada elemento de $ A $ a um elemento de $ B $. Como $ A $ tem 4 elementos e $ B $ tem 7, cada elemento de $ A $ pode ser mapeado para qualquer um dos 7 elementos de $ B $.
Então, para cada um dos 4 elementos de $ A $, temos 7 opções no $ B $. Isso significa que o número total de funções é $ 7 $ multiplicado por si mesmo 4 vezes, ou seja, $ 7^4 $.
Passo 3
Agora, vamos calcular $ 7^4 $:
Então, existem 2401 funções de $ A $ para $ B $.
Passo 4
Agora, vamos para as funções injetoras. Uma função é injetora se elementos diferentes de $ A $ são mapeados para elementos diferentes de $ B $. Em outras palavras, não pode ter dois elementos de $ A $ apontando para o mesmo elemento de $ B $.
Para contar isso, usamos o conceito de arranjo. Queremos saber de quantas maneiras podemos selecionar e ordenar 4 elementos distintos de $ B $ para mapear os 4 elementos de $ A $.
A fórmula para o número de arranjos de $ n $ elementos tomados $ k $ a $ k $ é:
Aqui, $ n = 7 $ e $ k = 4 $. Então,
Vamos calcular isso passo a passo.
Passo 5
Calculando $ 7! $ e $ 3! $:
Agora, divide $ 7! $ por $ 3! $:
Então, existem 840 funções injetoras de $ A $ para $ B $.
Resposta
Existem 2401 funções de $ A $ para $ B $ e 840 funções injetoras de $ A $ para $ B $.