Exercício 24. Sejam
e
de classe
e seja
tal que
Seja
definida por
. Prove que
é ponto interior de
.
Passo 1
O enunciado dá duas funções de classe
,
e o ponto
em que
Define-se
e quer-se mostrar que
é ponto interior de
. Vamos usar o Teorema da Função Implícita para ver que
é aberta perto de
.
Passo 2
Como
podemos aplicar o Teorema da Função Implícita à equação
resolvendo-a para
. Assim existem vizinhanças
de
em
e
de
em
,
e uma função
e uma função
definida em
, vizinhança de
, tal que, para todo
,
e
contém todos os pontos
.
Passo 3
Defina
Então, por construção, para todo
temos
Isto mostra que
pois dado
basta escolher
para achar ponto no domínio mapeando em
.
Passo 4
Como
é vizinhança de
em
e
é vizinhança de
em
com
, concluímos que
tem uma vizinhança inteira contida em
. Logo
é ponto interior de
.