Exercício 24. Sejam f: R^3 longrightarrow R e g: R^3 longrightarrow R de classe C^1 e seja p=(p1, p2, p3) in R^3 tal que
det[cc fx2(p) & fx3(p) gx2(p) & gx3(p) ] neq 0
Seja F: R^3 longrightarrow R^2 definida por F(x1, x2, x3)=(f(x1, x2, x3), g(x1, x2, x3)). Prove que F(p) é ponto interior de F(R^3).

Passo 1

O enunciado dá duas funções de classe C^1,
f,g:R^3longrightarrowR,
e o ponto p=(p1,p2,p3) em que
det fx2(p)&fx3(p) gx2(p)&gx3(p) neq0
Define-se
F(x1,x2,x3)=l(f(x1,x2,x3),,g(x1,x2,x3)r)inR^2
e quer-se mostrar que F(p) é ponto interior de F(R^3). Vamos usar o Teorema da Função Implícita para ver que F é aberta perto de p.

Passo 2

Como
detpartial(f,g)partial(x2,x3)(p)neq0,
podemos aplicar o Teorema da Função Implícita à equação
(f(x1,x2,x3),,g(x1,x2,x3))=(u,v)
resolvendo-a para (x2,x3). Assim existem vizinhanças
N de p em R^3 e
U de (u0,v0)=F(p) em R^2,
e uma função C^1
phi:; (x1,u,v)in V1timesU;longmapsto;(x2,x3)inR^2
definida em V1, vizinhança de p1, tal que, para todo (x1,u,v)in V1timesU,
fl(x1,phi1(x1,u,v)r)=u, gl(x1,phi1(x1,u,v)r)=v,
e N contém todos os pontos l(x1,phi(x1,u,v)r).

Passo 3

Defina
Psi:; V1timesU;longrightarrow;N, Psi(x1,u,v)=l(x1,phi(x1,u,v)r)
Então, por construção, para todo (x1,u,v)in V1timesU temos
Fl(Psi(x1,u,v)r) =l(f(x1,phi(x1,u,v)),,g(x1,phi(x1,u,v))r) =(u,v)
Isto mostra que
U;subset;Fl(Nr),
pois dado (u,v)inU basta escolher x1=p1in V1 para achar ponto no domínio mapeando em (u,v).

Passo 4

Como N é vizinhança de p em R^3 e U é vizinhança de F(p) em R^2 com Usubset F(N)subset F(R^3), concluímos que F(p) tem uma vizinhança inteira contida em F(R^3). Logo F(p) é ponto interior de F(R^3).

Resposta

F(p) é ponto interior de F(R^3).

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