Exercício 1
Considere uma partícula que vai do ponto (1,1) até o ponto (2,2) num campo de forças definido por f(x, y)=(2 x y, x^2). Calcule o trabalho de f ao longo do deslocamento da partícula.

Passo 1

O enunciado pede o trabalho realizado por uma partícula que vai de (1,1) até (2,2) num campo de forças dado por
f(x,y) = l(2xy,;x^2r)
O conteúdo aqui é cálculo de integral de linha e o que vamos precisar é verificar se o campo é conservativo para usar o teorema fundamental das integrais de linha em campos conservativos.

Passo 2

Para ver se f é conservativo, chamamos P(x,y)=2xy e Q(x,y)=x^2 e comparamos
partial Ppartial y=2x, partial Qpartial x=2x
Como partial P/partial y=partial Q/partial x num domínio simplesmente conexo, concluímos que f é conservativo.

Passo 3

Como f é conservativo, existe uma função potencial phi(x,y) tal que nablaphi=f. Então integramos P em relação a x:
phi(x,y)=integral 2xy,dx = x^2y + g(y),
onde g(y) é função a determinar. Derivando em y usamos partialphi/partial y=Q:
partialphipartial y=x^2 + g'(y)=x^2 Longrightarrow g'(y)=0
logo g(y) é constante e podemos tomar phi(x,y)=x^2y.

Passo 4

Pelo teorema fundamental para campos conservativos, o trabalho é
phi(2,2)-phi(1,1)
Calculando
phi(2,2)=2^2cdot2=8, phi(1,1)=1^2cdot1=1,
logo o trabalho vale 8-1=7.

Resposta

O trabalho realizado pelo campo é 7.

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