5.7I Resolva os seguintes problemas de valor inicial (p.v.i.). Nos problemas de segunda ordem use a substituição z=y^prime :
y^prime+2 x y=2 x^3 ; y(0)=1

Passo 1

O problema é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem com condição inicial, no formato
y' + 2x,y = 2x^3, y(0)=1
Esse tipo de EDO é linear e resolvemos por fator integrante. A ideia é achar uma função mu(x) tal que, ao multiplicar a equação original por mu(x), o lado esquerdo se torne a derivada do produto mu(x),y.

Passo 2

Escrevendo a equação em forma padrão y' + P(x),y = Q(x) temos P(x)=2x e Q(x)=2x^3. O fator integrante é
mu(x) = expl(integral P(x),dxr) = expl(integral 2x,dxr) = e^x^2
Multiplicando a EDO por e^x^2 obtém-se
e^x^2y' + 2x,e^x^2y = 2x^3,e^x^2,
que é equivalente a
ddxl(y,e^x^2r) = 2x^3,e^x^2
Agora integramos ambos os lados:
integral ddxl(y,e^x^2r),dx = integral 2x^3,e^x^2,dx
Para avaliar integral 2x^3 e^x^2dx, fazemos u = x^2, du = 2x,dx, então
integral 2x^3 e^x^2dx = integral u,e^u,du = l(u-1r)e^u + C = (x^2 - 1)e^x^2 + C
Logo
y,e^x^2 = (x^2 - 1)e^x^2 + C Longrightarrow y = x^2 - 1 + C,e^-x^2

Passo 3

Para determinar C, usamos a condição inicial y(0)=1:
1 = 0^2 - 1 + C,e^0 Longrightarrow 1 = -1 + C Longrightarrow C = 2

Resposta

y(x) = x^2 - 1 + 2,e^-x^2

Exercícios relacionados