Exercício 2

(1 Ponto) a) Seja f: R^3 backslash(x, 0,0) ; x in R R a função dada por f(x, y, z)=(0, -zy^2+z^2, yy^2+z^2). Esta função tem rotacional nulo? Ela é conservativa?
(1 Ponto) b) O espaço R^3 backslash(x, 0,0) ; x in R é simplesmente conexo? Justifique.

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
f(x,y,z)=l(0,,-zy^2+z^2,,yy^2+z^2r)
definido em R^3setminus(x,0,0) mid xinR.
a) Pergunta se o rotacional de f é nulo e se f é conservativa.
b) Pergunta se o domínio R^3setminusx-eixo é simplesmente conexo.
Vamos usar cálculo de rotacional, teste de conservatividade (curl zero + domínio simplesmente conexo) e argumentos de topologia elementar.

Passo 2

Calcular nablatimes f. Pelo determinante formal,
nablatimes f =l(partialpartial yyy^2+z^2-partialpartial zl(-zy^2+z^2r),,0-0,,0-0r)
Agora
partialpartial yyd =d-2y^2d^2, partialpartial zl(-zdr) =-d+2z^2d^2, d=y^2+z^2
Logo a primeira componente
d-2y^2-(-d+2z^2)d^2 =2d-2(y^2+z^2)d^2=0,
e as outras componentes são triviais 0. Portanto
nablatimes f=0em todo o domínio í

Passo 3

Mesmo com nablatimes f=0, para f ser conservativa precisamos que o domínio seja simplesmente conexo. Como contraexemplo de integral de linha, tome a curva fechada no plano perpendicular ao eixo x:
gamma(t)=(0,Rcos t,Rsin t), tin[0,2pi]
Nesse caso y^2+z^2=R^2 e
f(gamma(t))cdot gamma'(t) =l(0,-sin tR,cos tRr)cdotl(0,-Rsin t,Rcos tr) =R(sin^2t+cos^2t)R=1
Assim
ointgammafcdot dr =integral0^2pi1,dt=2pineq0,
logo f não é conservativa.

Passo 4

Mostrar que R^3setminus(x,0,0) não é simplesmente conexo. Note que retirar o eixo x deixa o espaço homotópico a R^2setminus0 (basta projetar ortogonalmente no plano y-z). Mas R^2setminus0 tem loops que giram em torno da origem e não se contraem (por exemplo a parametrização acima). Portanto o domínio não é simplesmente conexo.

Resposta

a) nablatimes f=0 em todo o domínio, mas f não é conservativa (circulação em volta do eixo x 2pineq0).
b) O espaço R^3setminus(x,0,0) não é simplesmente conexo, pois é homotópico a R^2setminus0, que não é simplesmente conexo.

Exercícios relacionados