Exercício 2
(1 Ponto) a) Seja
a função dada por
. Esta função tem rotacional nulo? Ela é conservativa?
(1 Ponto) b) O espaço
é simplesmente conexo? Justifique.
(1 Ponto) b) O espaço
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
definido em
.
a) Pergunta se o rotacional de é nulo e se
é conservativa.
b) Pergunta se o domínio é simplesmente conexo.
Vamos usar cálculo de rotacional, teste de conservatividade (curl zero domínio simplesmente conexo) e argumentos de topologia elementar.
a) Pergunta se o rotacional de
b) Pergunta se o domínio
Vamos usar cálculo de rotacional, teste de conservatividade (curl zero
Passo 2
Calcular
. Pelo determinante formal,
Agora
Logo a primeira componente
e as outras componentes são triviais
. Portanto
Passo 3
Mesmo com
, para
ser conservativa precisamos que o domínio seja simplesmente conexo. Como contraexemplo de integral de linha, tome a curva fechada no plano perpendicular ao eixo
:
Nesse caso
e
Assim
logo
não é conservativa.
Passo 4
Mostrar que
não é simplesmente conexo. Note que retirar o eixo
deixa o espaço homotópico a
(basta projetar ortogonalmente no plano
). Mas
tem loops que giram em torno da origem e não se contraem (por exemplo a parametrização acima). Portanto o domínio não é simplesmente conexo.
Resposta
a)
em todo o domínio, mas
não é conservativa (circulação em volta do eixo
dá
).
b) O espaço não é simplesmente conexo, pois é homotópico a
, que não é simplesmente conexo.
b) O espaço