Exercício 24. Usando o polinômio de Taylor de ordem 3 calcule o valor aproximado e avalie o erro:
Passo 1
O enunciado pede: aproximar
usando o polinômio de Taylor de ordem 3 e avaliar o erro dessa aproximação. Informações dadas: o número a avaliar é
. O que precisamos entregar: (1) um valor aproximado para
obtido pelo polinômio de Taylor de ordem 3; (2) uma estimativa (cota) do erro absoluto dessa aproximação.
Passo 2
Escolhemos expandir a função em torno de
escrevendo
com
. Vou construir o polinômio de Taylor de ordem 3 para a função
em torno de
. O polinômio de Taylor de ordem 3 (centrado em
) tem a forma
Aqui cada
é a
-ésima derivada de
avaliada em
, e
(fatorial) é o produto
.
Passo 3
Calculamos as derivadas de
e avaliamos em
.
Agora avaliando em
:
Passo 4
Substituímos esses valores no polinômio
:
Lembrando que
e
, obtemos
Passo 5
Agora aplicamos
(
). Calculemos cada potência com cuidado e em frações para não depender de calculadora:
Substituindo em
:
Simplificando cada termo:
Somando:
Como decimal:
Passo 6
Agora avaliamos o erro. Usamos a forma de resto de Lagrange para o polinômio de Taylor: para
suficientemente diferenciável,
para algum
entre
e
. Aqui
é a quarta derivada de
. Vamos calcular
:
a partir de segue
a partir de
Portanto, em módulo,
Passo 7
Como
está entre
e
, temos
. O máximo de
no intervalo ocorre quando
é mínimo, isto é em
. Logo
Assim o módulo do resto satisfaz
Sabendo que
, obtemos
Passo 8
Calculamos
. Já tínhamos
e
; então
Portanto a cota do erro é
Passo 9
Observação sobre o sinal do resto: a série de Taylor de
(para
) é a série alternada
Os termos têm sinais alternados e magnitudes decrescentes para
; por isso o erro ao truncar após o termo
tem sinal igual ao próximo termo omitido, que é
. Assim o resto
é negativo, e sabemos que
com
e
. Então a aproximação sobrestima o valor verdadeiro por no máximo
.