Exercício 25. Quantos termos do polinômio de Taylor são necessários para aproximar e com um erro inferior a 10^{-3} ?

Passo 1

O enunciado pergunta: quantos termos do polinômio de Taylor são necessários para aproximar e com erro inferior a 10^{-3}.
Informações relevantes fornecidas ou que usamos como dados do problema:
  • O número que queremos aproximar é e (ou seja, e^1).
  • Podemos usar a expansão em série (polinômio de Taylor centrado em 0, também chamado de série de Maclaurin) para a função e^x.
  • Precisamos controlar o erro (resto) do polinômio de Taylor para garantir que seja menor que 10^{-3}.

Passo 2

Vamos escrever a série de Taylor (Maclaurin) de e^x e entender o resto. Primeiro, a observação sobre derivadas (explicada passo a passo): a função f(x)=e^x tem todas as derivadas iguais a e^x. Em particular, todas as derivadas avaliadas em x=0 valem f^{(k)}(0)=e^0=1. A fórmula geral do polinômio de Taylor de ordem n em torno de 0 (Maclaurin) é
P_n(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k.
Como f^{(k)}(0)=1 para todo k, obtemos a série
e^x=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^k}{k!}.
Para x=1 (que é o caso de e=e^1), isso dá
e=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}.
Agora precisamos controlar o resto ao truncar essa série. A forma do resto de Lagrange para o polinômio de ordem n avaliado em x=1 diz que existe algum \xi entre 0 e 1 tal que
R_n(1)=\frac{e^{\xi}}{(n+1)!}.
Explico essa fórmula: o resto de Lagrange vem do teorema do resto que garante que o erro em truncar a série até o termo de ordem n é dado pela derivada de ordem n+1 avaliada em algum ponto entre o centro da expansão e o ponto onde se avalia, dividida por (n+1)!. Aqui a derivada de ordem n+1 é e^x, então aparece e^{\xi}. Como \xi\in(0,1), temos e^{\xi}\le e. Portanto um limite superior simples para o resto é
|R_n(1)|\le\frac{e}{(n+1)!}.
Esse é o passo chave: transformar a informação teórica do resto em uma desigualdade fácil de manipular.

Passo 3

Agora impomos a condição do problema: queremos |R_n(1)| < 10^{-3}. Usando o limite superior do passo anterior, basta garantir
\frac{e}{(n+1)!}<10^{-3}.
Vou isolar (n+1)!:
(n+1)!>\;10^{3}\,e.
Podemos usar a aproximação e\approx 2,71828, então
10^{3}\,e \approx 1000\cdot 2{,}71828 = 2718{,}28.
Agora verificamos fatoriais até encontrar o primeiro que excede 2718{,}28:
5! = 120,\qquad 6! = 720,\qquad 7! = 5040.
Como 7! = 5040 > 2718{,}28, isso mostra que (n+1)! precisa ser pelo menos 7!. Logo a menor escolha inteira possível é n+1=7, isto é, n=6.

Passo 4

Interpretação final do que isso significa em termos de “número de termos do polinômio”: truncar a série em n=6 corresponde a manter os termos k=0,1,2,3,4,5,6, ou seja, n+1=7 termos. Em palavras mais amigáveis: o polinômio de Taylor (Maclaurin) de grau 6 (que tem 7 termos) já garante erro menor que 10^{-3} segundo a estimativa feita com o resto de Lagrange.

Resposta

7 termos (polinômio de grau 6).

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