Exercício 25. Quantos termos do polinômio de Taylor são necessários para aproximar e com um erro inferior a
?
Passo 1
O enunciado pergunta: quantos termos do polinômio de Taylor são necessários para aproximar
com erro inferior a
.
Informações relevantes fornecidas ou que usamos como dados do problema:
Informações relevantes fornecidas ou que usamos como dados do problema:
- O número que queremos aproximar é
(ou seja, ). - Podemos usar a expansão em série (polinômio de Taylor centrado em
, também chamado de série de Maclaurin) para a função . - Precisamos controlar o erro (resto) do polinômio de Taylor para garantir que seja menor que
.
Passo 2
Vamos escrever a série de Taylor (Maclaurin) de
e entender o resto. Primeiro, a observação sobre derivadas (explicada passo a passo): a função
tem todas as derivadas iguais a
. Em particular, todas as derivadas avaliadas em
valem
. A fórmula geral do polinômio de Taylor de ordem
em torno de
(Maclaurin) é
Como
para todo
, obtemos a série
Para
(que é o caso de
), isso dá
Agora precisamos controlar o resto ao truncar essa série. A forma do resto de Lagrange para o polinômio de ordem
avaliado em
diz que existe algum
entre
e
tal que
Explico essa fórmula: o resto de Lagrange vem do teorema do resto que garante que o erro em truncar a série até o termo de ordem
é dado pela derivada de ordem
avaliada em algum ponto entre o centro da expansão e o ponto onde se avalia, dividida por
. Aqui a derivada de ordem
é
, então aparece
. Como
, temos
. Portanto um limite superior simples para o resto é
Esse é o passo chave: transformar a informação teórica do resto em uma desigualdade fácil de manipular.
Passo 3
Agora impomos a condição do problema: queremos
. Usando o limite superior do passo anterior, basta garantir
Vou isolar
:
Podemos usar a aproximação
, então
Agora verificamos fatoriais até encontrar o primeiro que excede
:
Como
, isso mostra que
precisa ser pelo menos
. Logo a menor escolha inteira possível é
, isto é,
.
Passo 4
Interpretação final do que isso significa em termos de “número de termos do polinômio”: truncar a série em
corresponde a manter os termos
, ou seja,
termos. Em palavras mais amigáveis: o polinômio de Taylor (Maclaurin) de grau
(que tem 7 termos) já garante erro menor que
segundo a estimativa feita com o resto de Lagrange.