Exercício 9. Esboce o gráfico da função f a partir das informações dadas.
(1)
(a) \mathrm{D}_{\mathrm{f}}=[-4,+\infty)
(b) f(0)=2
(c) \lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=-2
(d) \lim _{x \rightarrow 0^{-}} f(x)=+\infty
(e) f^{\prime}(x)<0 em (-4,-1) \bigcup(2,+\infty) e f^{\prime}(x)>0 em (-1,0) \cup(0,2).
(f) f^{\prime \prime}(x)<0 em (-4,-1) \cup(0,4) e f^{\prime \prime}(x)>0 em (-1,0) \cup(4,+\infty).
(2)
(a) assíntota vertical \chi=0
(b) f^{\prime}(x)>0 se x<-2 e f^{\prime}(x)<0 se x>-2 (x \neq 0)
(c) f^{\prime \prime}(x)<0 se x<0 e f^{\prime \prime}(x)>0 se $x>0

Passo 1

O enunciado pede que esbocemos (desenharmos qualitativamente) duas funções f a partir das informações dadas. Vou listar claramente as perguntas e todas as informações fornecidas.
Para (1) temos:
  • (a) Domínio: \mathrm{D}_{f}=[-4,+\infty).
  • (b) Valor no ponto 0: f(0)=2.
  • (c) Limite no infinito: \lim_{x\to\infty} f(x)=-2.
  • (d) Limite à esquerda de 0: \lim_{x\to 0^-} f(x)=+\infty.
  • (e) Sinal da derivada: f'(x)<0 em (-4,-1)\cup(2,+\infty) e f'(x)>0 em (-1,0)\cup(0,2).
  • (f) Sinal da derivada segunda: f''(x)<0 em (-4,-1)\cup(0,4) e f''(x)>0 em (-1,0)\cup(4,+\infty).
Para (2) temos:
  • (a) Assíntota vertical: x=0.
  • (b) Sinal da derivada: f'(x)>0 se x<-2 e f'(x)<0 se x>-2 (com x\neq 0).
  • (c) Sinal da derivada segunda: f''(x)<0 se x<0 e f''(x)>0 se x>0.
Essas são todas as informações que o enunciado deu. A partir delas vamos determinar pontos relevantes (máximos/mínimos, inflexões, assíntotas) e montar passo a passo como seria o esboço do gráfico em cada caso.

Passo 2

Entendendo os conceitos que vamos usar (aula rápida e prática).
  • Monotonicidade: se f'(x)>0 em um intervalo, então f é crescente ali; se f'(x)<0 então f é decrescente. Isso vem da definição da derivada como taxa de variação: derivada positiva → função sobe quando x aumenta.
  • Teste da primeira derivada para extremos: se f' muda de negativa para positiva num ponto a, então f tem mínimo local em a. Se f' muda de positiva para negativa, f tem máximo local.
  • Concavidade e pontos de inflexão: se f''(x)>0 num intervalo, a curva é côncava para cima (parece uma “tigela”); se f''(x)<0, é côncava para baixo (parece um “domo”). Um ponto onde f'' muda de sinal é ponto de inflexão.
  • Assíntota vertical: se \lim_{x\to a^\pm} f(x)=\pm\infty, então x=a é uma assíntota vertical (a curva vai para infinito ao aproximar-se de a). Mesmo que f(a) esteja definido, a função pode ter comportamento singular ao redor — nesse caso desenhamos um ponto isolado em a e a curva que vai para infinito do lado apropriado.
  • Assíntota horizontal: se \lim_{x\to\infty} f(x)=L, então há assíntota horizontal y=L.
Explico isso em palavras para facilitar o desenho: sinais de f' dizem onde ligar setas “subindo” ou “descendo”; sinais de f'' dizem se ligar com curva aberta para cima ou para baixo; limites grandes (±∞) e assíntotas mostram que a curva vai para cima/baixo sem tocar.

Passo 3

Análise detalhada de (1) — monotonicidade e extremos.
  • Em (-4,-1) temos f'(x)<0: a função é decrescente ao sairmos de x=-4 até x=-1.
  • Em (-1,0) temos f'(x)>0: a função é crescente entre -1 e 0.
  • Como f' muda de negativo para positivo em x=-1, pelo teste da primeira derivada concluímos que x=-1 é um ponto de mínimo local. Não sabemos o valor numérico f(-1), mas sabemos que é menor que os valores nas vizinhanças.
  • Em (0,2) temos f'(x)>0: a função é crescente imediatamente à direita de 0 até 2.
  • Em (2,\infty) temos f'(x)<0: a função é decrescente após x=2.
  • Como f' muda de positivo para negativo em x=2, x=2 é um ponto de máximo local (novamente sem valor numérico dado).
Resumo de extremos para (1): mínimo local em x=-1 e máximo local em x=2.

Passo 4

Análise detalhada de (1) — concavidade e inflexões.
  • f''(x)<0 em (-4,-1) → côncava para baixo nesse intervalo.
  • f''(x)>0 em (-1,0) → côncava para cima em (-1,0).
  • Portanto em x=-1 o sinal de f'' muda de negativo para positivo: x=-1 é também ponto de inflexão. Isso é consistente: em x=-1 temos mínimo local e mudança de concavidade (curva muda de “domo” para “tigela”).
  • f''(x)<0 em (0,4) → côncava para baixo entre 0 e 4.
  • f''(x)>0 em (4,\infty) → côncava para cima para x>4.
  • Logo em x=4 há mudança de concavidade (de negativa para positiva), ou seja, x=4 é ponto de inflexão. Observação: não foi dada informação sobre f'(4), mas a mudança de f'' indica inflexão.
Resumo de concavidade para (1): inflexão em x=-1 e em x=4; concavidade conforme os intervalos indicados.

Passo 5

Análise detalhada de (1) — comportamento próximo a pontos especiais e assíntotas.
  • Domínio começa em x=-4. Não há informação extra sobre o valor f(-4), então no esboço colocamos um ponto final à esquerda em x=-4 com valor desconhecido (apenas a posição relativa será guiada pela monotonicidade e concavidade).
  • Limite \lim_{x\to 0^-} f(x)=+\infty: isso significa que ao aproximarmos x de 0 pela esquerda a curva sobe sem limite — portanto existe uma “rampa” que vai para +\infty quando nos aproximamos de 0 pela esquerda. Isso é uma assíntota vertical a partir do lado esquerdo. Observação importante: o enunciado também diz f(0)=2. Então no gráfico teremos:
    • Uma ramificação que, para x<0, tende a +\infty conforme x\to0^-.
    • Um ponto isolado ou valor definido em x=0 de coordenada 2, ou seja, um ponto preenchido em (0,2). É possível (e comum) que a função tenha esse tipo de descontinuidade: diverge por um lado e tem valor definido no ponto.
  • Limite em +\infty: \lim_{x\to\infty} f(x)=-2 indica assíntota horizontal y=-2 à direita; ao crescer em x a função tende a essa reta horizontal.
  • Como consequência da monotonicidade em (2,\infty) (decrescente) e da assíntota y=-2, a curva desce (talvez de um valor próximo ao máximo em x=2) e se aproxima de y=-2 quando x\to\infty. Pela concavidade, entre 0 e 4 a curva é côncava para baixo e depois côncava para cima após x=4, então essa descida para a assíntota muda de “forma” em x=4.

Passo 6

Construindo o esboço de (1) passo a passo (o que desenhar e em que ordem):
  • À esquerda, em x=-4, marque o início do domínio. A partir de x=-4 até x=-1 a curva é decrescente e côncava para baixo (descer com formato de capuz). Em x=-1 marque um mínimo local (também ponto de inflexão): aí a curva muda de côncava para baixo para côncava para cima e começa a subir.
  • De x=-1 até x=0^- a curva sobe (é crescente em (-1,0)) e é côncava para cima. Ao aproximar x de 0 pela esquerda a curva vai para +\infty (traçar a rampa para cima que dispara para infinito).
  • Em x=0 desenhe o ponto preenchido (0,2) (valor da função no ponto). Importante: não ligar necessariamente a parte direita do gráfico a esse ponto, porque a parte esquerda diverge e a parte direita pode ter comportamento distinto; o enunciado não dá \lim_{x\to 0^+} f(x), então o ramo direito pode ou não passar por (0,2). O que sabemos é: há um ponto preenchido em (0,2).
  • Para x>0: na breve vizinhança direita de 0 até 2, a função é crescente ( (0,2)) e é côncava para baixo até x=4. Em x=2 coloque um máximo local. Entre 0 e 4 a curva tem formato de “domo” (curvando para baixo). Em x=4 marque um ponto de inflexão (a concavidade muda).
  • Após x=4, a função continua decrescendo (porque f'<0 para x>2) mas agora é côncava para cima. A curva se aproxima da reta horizontal y=-2 quando x\to\infty. No esboço, trace a curva decrescendo e se “nivelando” em direção a y=-2.
Dicas de desenho prático: desenhe primeiro a assíntota horizontal y=-2 para a direita, a linha vertical imaginária x=0 mostrando que a esquerda a curva sobe para +∞; marque pontos de mínimo em x=-1 e máximo em x=2; conecte com segmentos curvos respeitando concavidades.

Passo 7

Observações e ambiguidades em (1) que você precisa saber na prova:
  • Não foi dada \lim_{x\to 0^+} f(x). Logo, ao desenhar o ramo para x>0 podemos apenas garantir que ele é crescente em (0,2), tem máximo em x=2, e depois decresce para a assíntota y=-2. Não podemos afirmar se a porção direita começa exatamente em (0,2) (continuidade à direita) ou se há um “salto” no ponto 0.
  • Valores numéricos de f(-4), f(-1), f(2), f(4) não são dados; desenhamos qualitativamente suas posições relativas (mínimo/ máximo/ inflexão), não posições exatas.

Passo 8

Análise e esboço para (2) — monotonicidade e concavidade.
  • Informações: assíntota vertical x=0. Da derivada: f'(x)>0 para x<-2 (função crescente à esquerda de -2) e f'(x)<0 para x>-2 com x\neq 0 (função decrescente para x>-2, exceto que x=0 é excluído por ser assíntota).
  • Isso implica que x=-2 é ponto onde f' muda de positivo para negativo → x=-2 é um máximo local. Coloque um pico em x=-2.
  • Concavidade: f''(x)<0 se x<0 → à esquerda de 0, a curva é côncava para baixo; f''(x)>0 se x>0 → à direita de 0, a curva é côncava para cima. Em x=0 há a mudança de concavidade, mas como x=0 é assíntota vertical, não é um ponto no gráfico; isso simplesmente diz: antes de atingir a assíntota (pela esquerda) a curva está côncava para baixo e depois da assíntota (pela direita) está côncava para cima.
  • Combinando: para x\ll -2 a função sobe (crescente e côncava para baixo), atinge máximo em x=-2, depois decresce passando por valores menores até aproximar x=0. Ao aproximar x=0 pela esquerda a função provavelmente diverge (assíntota vertical), mas o enunciado só diz que x=0 é assíntota vertical — o comportamento lateral preciso (+ \infty ou - \infty) não foi dado; então no esboço desenhamos a curva que se aproxima verticalmente de x=0 (pode ir para +∞ ou -∞ — o enunciado não especifica).
  • Para x>0: a função continua decrescente (pois f'<0 para x>-2), e agora é côncava para cima; conforme x cresce a função segue descendo (com formato de “tigela invertida para baixo”? cuidado: côncava para cima é “tigela”) sem informação de uma assíntota horizontal neste item, então traçamos uma curva decrescente e cada vez menos curvada para baixo (de fato mais parecida com uma tigela decrescente).

Passo 9

Como desenhar (2) passo a passo:
  • Trace uma linha vertical pontilhada em x=0 para lembrar a assíntota.
  • À esquerda (para x<-2): desenhe a curva crescente e côncava para baixo que sobe até um pico em x=-2.
  • Em x=-2 marque o máximo local.
  • Entre x=-2 e x=0: desenhe a curva decrescente e côncava para baixo que se aproxima verticalmente de x=0 (o sentido vertical: não foi especificado +∞ ou -∞, então indique que aproxima verticalmente sem rotular se vai para cima ou para baixo).
  • Para x>0: desenhe a curva decrescente e côncava para cima (como uma função que cai e “alisa” por cima), sem informação de assíntota horizontal; continue a curva para a direita conforme desejar, sempre mantendo f'<0 e f''>0.

Passo 10

Exemplos rápidos para fixar a intuição (sem relação direta com os enunciados, só para aprender):
  • Se você vir f'(x)>0 em (a,b), imagine uma rampa subindo: exemplo simples é g(x)=x que tem g'(x)=1>0 e é crescente.
  • Se você vir f''(x)<0, pense numa tampa de panela (côncava para baixo); por exemplo h(x)=-x^2 tem h''(x)=-2<0 e é côncava para baixo.

Resposta

(1) Esboço: domínio [-4,\infty). Decresce e é côncava para baixo em (-4,-1), mínimo local e inflexão em x=-1; cresce e é côncava para cima em (-1,0) e o ramo esquerdo tende a +\infty quando x\to0^-; ponto preenchido em (0,2); em (0,2) cresce e é côncava para baixo até máximo local em x=2; para x>2 decresce, é côncava para baixo até x=4 e passa a ser côncava para cima em (4,\infty); a curva decresce se aproximando da assíntota horizontal y=-2 quando x\to\infty.
(2) Esboço: assíntota vertical em x=0. Cresce e é côncava para baixo em (-\infty,-2), máximo local em x=-2; para -2<x<0 decresce e é côncava para baixo aproximando-se verticalmente de x=0 (assíntota); para x>0 decresce e é côncava para cima.

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