Exercício 9. Esboce o gráfico da função f a partir das informações dadas.
(1)
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
em
e
em
.
(f)
em
e
em
.
(2)
(a) assíntota vertical
(b)
se
e
se
(c)
se
e
se $x>0
(1)
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(2)
(a) assíntota vertical
(b)
(c)
Passo 1
O enunciado pede que esbocemos (desenharmos qualitativamente) duas funções
a partir das informações dadas. Vou listar claramente as perguntas e todas as informações fornecidas.
Para (1) temos:
- (a) Domínio:
. - (b) Valor no ponto
: . - (c) Limite no infinito:
. - (d) Limite à esquerda de
: . - (e) Sinal da derivada:
em e em . - (f) Sinal da derivada segunda:
em e em .
Para (2) temos:
- (a) Assíntota vertical:
. - (b) Sinal da derivada:
se e se (com ). - (c) Sinal da derivada segunda:
se e se .
Essas são todas as informações que o enunciado deu. A partir delas vamos determinar pontos relevantes (máximos/mínimos, inflexões, assíntotas) e montar passo a passo como seria o esboço do gráfico em cada caso.
Passo 2
Entendendo os conceitos que vamos usar (aula rápida e prática).
- Monotonicidade: se
em um intervalo, então é crescente ali; se então é decrescente. Isso vem da definição da derivada como taxa de variação: derivada positiva → função sobe quando aumenta. - Teste da primeira derivada para extremos: se
muda de negativa para positiva num ponto , então tem mínimo local em . Se muda de positiva para negativa, tem máximo local. - Concavidade e pontos de inflexão: se
num intervalo, a curva é côncava para cima (parece uma “tigela”); se , é côncava para baixo (parece um “domo”). Um ponto onde muda de sinal é ponto de inflexão. - Assíntota vertical: se
, então é uma assíntota vertical (a curva vai para infinito ao aproximar-se de ). Mesmo que esteja definido, a função pode ter comportamento singular ao redor — nesse caso desenhamos um ponto isolado em e a curva que vai para infinito do lado apropriado. - Assíntota horizontal: se
, então há assíntota horizontal .
Explico isso em palavras para facilitar o desenho: sinais de
dizem onde ligar setas “subindo” ou “descendo”; sinais de
dizem se ligar com curva aberta para cima ou para baixo; limites grandes (±∞) e assíntotas mostram que a curva vai para cima/baixo sem tocar.
Passo 3
Análise detalhada de (1) — monotonicidade e extremos.
- Em
temos : a função é decrescente ao sairmos de até . - Em
temos : a função é crescente entre e . - Como
muda de negativo para positivo em , pelo teste da primeira derivada concluímos que é um ponto de mínimo local. Não sabemos o valor numérico , mas sabemos que é menor que os valores nas vizinhanças. - Em
temos : a função é crescente imediatamente à direita de até . - Em
temos : a função é decrescente após . - Como
muda de positivo para negativo em , é um ponto de máximo local (novamente sem valor numérico dado).
Resumo de extremos para (1): mínimo local em
e máximo local em
.
Passo 4
Análise detalhada de (1) — concavidade e inflexões.
-
em → côncava para baixo nesse intervalo. -
em → côncava para cima em . - Portanto em
o sinal de muda de negativo para positivo: é também ponto de inflexão. Isso é consistente: em temos mínimo local e mudança de concavidade (curva muda de “domo” para “tigela”). -
em → côncava para baixo entre e . -
em → côncava para cima para . - Logo em
há mudança de concavidade (de negativa para positiva), ou seja, é ponto de inflexão. Observação: não foi dada informação sobre , mas a mudança de indica inflexão.
Resumo de concavidade para (1): inflexão em
e em
; concavidade conforme os intervalos indicados.
Passo 5
Análise detalhada de (1) — comportamento próximo a pontos especiais e assíntotas.
- Domínio começa em
. Não há informação extra sobre o valor , então no esboço colocamos um ponto final à esquerda em com valor desconhecido (apenas a posição relativa será guiada pela monotonicidade e concavidade). - Limite
: isso significa que ao aproximarmos de pela esquerda a curva sobe sem limite — portanto existe uma “rampa” que vai para quando nos aproximamos de pela esquerda. Isso é uma assíntota vertical a partir do lado esquerdo. Observação importante: o enunciado também diz . Então no gráfico teremos: - Uma ramificação que, para
, tende a conforme . - Um ponto isolado ou valor definido em
de coordenada , ou seja, um ponto preenchido em . É possível (e comum) que a função tenha esse tipo de descontinuidade: diverge por um lado e tem valor definido no ponto.
- Uma ramificação que, para
- Limite em
: indica assíntota horizontal à direita; ao crescer em a função tende a essa reta horizontal. - Como consequência da monotonicidade em
(decrescente) e da assíntota , a curva desce (talvez de um valor próximo ao máximo em ) e se aproxima de quando . Pela concavidade, entre e a curva é côncava para baixo e depois côncava para cima após , então essa descida para a assíntota muda de “forma” em .
Passo 6
Construindo o esboço de (1) passo a passo (o que desenhar e em que ordem):
- À esquerda, em
, marque o início do domínio. A partir de até a curva é decrescente e côncava para baixo (descer com formato de capuz). Em marque um mínimo local (também ponto de inflexão): aí a curva muda de côncava para baixo para côncava para cima e começa a subir. - De
até a curva sobe (é crescente em ) e é côncava para cima. Ao aproximar de pela esquerda a curva vai para (traçar a rampa para cima que dispara para infinito). - Em
desenhe o ponto preenchido (valor da função no ponto). Importante: não ligar necessariamente a parte direita do gráfico a esse ponto, porque a parte esquerda diverge e a parte direita pode ter comportamento distinto; o enunciado não dá , então o ramo direito pode ou não passar por . O que sabemos é: há um ponto preenchido em . - Para
: na breve vizinhança direita de até , a função é crescente ( ) e é côncava para baixo até . Em coloque um máximo local. Entre e a curva tem formato de “domo” (curvando para baixo). Em marque um ponto de inflexão (a concavidade muda). - Após
, a função continua decrescendo (porque para ) mas agora é côncava para cima. A curva se aproxima da reta horizontal quando . No esboço, trace a curva decrescendo e se “nivelando” em direção a .
Dicas de desenho prático: desenhe primeiro a assíntota horizontal
para a direita, a linha vertical imaginária
mostrando que a esquerda a curva sobe para +∞; marque pontos de mínimo em
e máximo em
; conecte com segmentos curvos respeitando concavidades.
Passo 7
Observações e ambiguidades em (1) que você precisa saber na prova:
- Não foi dada
. Logo, ao desenhar o ramo para podemos apenas garantir que ele é crescente em , tem máximo em , e depois decresce para a assíntota . Não podemos afirmar se a porção direita começa exatamente em (continuidade à direita) ou se há um “salto” no ponto . - Valores numéricos de
, , , não são dados; desenhamos qualitativamente suas posições relativas (mínimo/ máximo/ inflexão), não posições exatas.
Passo 8
Análise e esboço para (2) — monotonicidade e concavidade.
- Informações: assíntota vertical
. Da derivada: para (função crescente à esquerda de ) e para com (função decrescente para , exceto que é excluído por ser assíntota). - Isso implica que
é ponto onde muda de positivo para negativo → é um máximo local. Coloque um pico em . - Concavidade:
se → à esquerda de , a curva é côncava para baixo; se → à direita de , a curva é côncava para cima. Em há a mudança de concavidade, mas como é assíntota vertical, não é um ponto no gráfico; isso simplesmente diz: antes de atingir a assíntota (pela esquerda) a curva está côncava para baixo e depois da assíntota (pela direita) está côncava para cima. - Combinando: para
a função sobe (crescente e côncava para baixo), atinge máximo em , depois decresce passando por valores menores até aproximar . Ao aproximar pela esquerda a função provavelmente diverge (assíntota vertical), mas o enunciado só diz que é assíntota vertical — o comportamento lateral preciso (+ ou - ) não foi dado; então no esboço desenhamos a curva que se aproxima verticalmente de (pode ir para +∞ ou -∞ — o enunciado não especifica). - Para
: a função continua decrescente (pois para ), e agora é côncava para cima; conforme cresce a função segue descendo (com formato de “tigela invertida para baixo”? cuidado: côncava para cima é “tigela”) sem informação de uma assíntota horizontal neste item, então traçamos uma curva decrescente e cada vez menos curvada para baixo (de fato mais parecida com uma tigela decrescente).
Passo 9
Como desenhar (2) passo a passo:
- Trace uma linha vertical pontilhada em
para lembrar a assíntota. - À esquerda (para
): desenhe a curva crescente e côncava para baixo que sobe até um pico em . - Em
marque o máximo local. - Entre
e : desenhe a curva decrescente e côncava para baixo que se aproxima verticalmente de (o sentido vertical: não foi especificado +∞ ou -∞, então indique que aproxima verticalmente sem rotular se vai para cima ou para baixo). - Para
: desenhe a curva decrescente e côncava para cima (como uma função que cai e “alisa” por cima), sem informação de assíntota horizontal; continue a curva para a direita conforme desejar, sempre mantendo e .
Passo 10
Exemplos rápidos para fixar a intuição (sem relação direta com os enunciados, só para aprender):
- Se você vir
em , imagine uma rampa subindo: exemplo simples é que tem e é crescente. - Se você vir
, pense numa tampa de panela (côncava para baixo); por exemplo tem e é côncava para baixo.
Resposta
(1) Esboço: domínio
. Decresce e é côncava para baixo em
, mínimo local e inflexão em
; cresce e é côncava para cima em
e o ramo esquerdo tende a
quando
; ponto preenchido em
; em
cresce e é côncava para baixo até máximo local em
; para
decresce, é côncava para baixo até
e passa a ser côncava para cima em
; a curva decresce se aproximando da assíntota horizontal
quando
.
(2) Esboço: assíntota vertical em . Cresce e é côncava para baixo em
, máximo local em
; para
decresce e é côncava para baixo aproximando-se verticalmente de
(assíntota); para
decresce e é côncava para cima.
(2) Esboço: assíntota vertical em