Exercício 24. Usando o polinômio de Taylor de ordem 3 calcule o valor aproximado e avalie o erro:
Passo 1
O enunciado pede para calcular um valor aproximado e avaliar o erro para
usando o polinômio de Taylor de ordem 3. Informação dada: o ponto onde queremos aproximar é
(assumimos radianos). Objetivo: obter uma aproximação numérica e um limite para o erro dessa aproximação.
Passo 2
Vou lembrar o que é o polinômio de Taylor (Maclaurin, quando centrado em 0). A fórmula geral do polinômio de Taylor de ordem
centrado em
é
Aqui
é a
-ésima derivada de
avaliada em
, e
é o fatorial de
(por exemplo
). Essa fórmula cria um polinômio de grau
que aproxima
perto de
.
Passo 3
Agora aplicamos isso em
. Calculamos as derivadas em
:
Usando a fórmula do passo anterior com
,
Portanto
Passo 4
Agora substituímos
em
. Primeiro calculemos os termos com cuidado:
Logo
Em decimal,
Passo 5
Agora a estimativa do erro. Primeiro método (resto de Lagrange): a fórmula do resto após o polinômio de ordem
é
para algum
entre
e
. Para
temos
, e portanto
para todo
. Assim um limite para o erro é
Calculando:
Portanto, pelo resto de Lagrange,
Passo 6
Um limite muito mais apertado vem do fato de que a série de Maclaurin de
é alternada e seus termos em módulo decrescem rapidamente para
pequeno. A série é
Para uma série alternada com termos decrescentes em módulo, o erro ao truncar após um termo é no máximo o módulo do primeiro termo omitido. Truncamos depois do termo em
, então o próximo termo omitido tem magnitude
. Assim
Calculando:
Esse é um limite muito mais preciso: o erro real é menor que aproximadamente
.
Passo 7
Resumo prático: a aproximação de ordem 3 deu exatamente
e em decimal
. O erro máximo garantido pelo resto de Lagrange é cerca de
, mas usando o fato de que a série de seno é alternada obtemos um limite bem mais forte: cerca de
. Isso significa que a aproximação
está excelente — o erro é menor que
se usarmos o argumento da série alternada.