Exercício 24. Usando o polinômio de Taylor de ordem 3 calcule o valor aproximado e avalie o erro:
\operatorname{sen}(0.1)

Passo 1

O enunciado pede para calcular um valor aproximado e avaliar o erro para \operatorname{sen}(0,1) usando o polinômio de Taylor de ordem 3. Informação dada: o ponto onde queremos aproximar é x=0,1 (assumimos radianos). Objetivo: obter uma aproximação numérica e um limite para o erro dessa aproximação.

Passo 2

Vou lembrar o que é o polinômio de Taylor (Maclaurin, quando centrado em 0). A fórmula geral do polinômio de Taylor de ordem n centrado em 0 é
P_n(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k.
Aqui f^{(k)}(0) é a k-ésima derivada de f avaliada em 0, e k! é o fatorial de k (por exemplo 3! = 3\cdot2\cdot1 = 6). Essa fórmula cria um polinômio de grau \le n que aproxima f(x) perto de 0.

Passo 3

Agora aplicamos isso em f(x)=\operatorname{sen}(x). Calculamos as derivadas em 0:
f(x)=\operatorname{sen}(x),\quad f(0)=0,
f'(x)=\cos(x),\quad f'(0)=1,
f''(x)=-\operatorname{sen}(x),\quad f''(0)=0,
f^{(3)}(x)=-\cos(x),\quad f^{(3)}(0)=-1.
Usando a fórmula do passo anterior com n=3,
P_3(x)=\frac{f(0)}{0!}+\frac{f'(0)}{1!}x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\frac{f^{(3)}(0)}{3!}x^3 =0 + 1\cdot x + 0\cdot\frac{x^2}{2!} + (-1)\cdot\frac{x^3}{3!}.
Portanto
P_3(x)=x-\frac{x^3}{6}.

Passo 4

Agora substituímos x=0,1 em P_3. Primeiro calculemos os termos com cuidado:
(0,1)^3 = 0,001,
\frac{(0,1)^3}{6}=\frac{0,001}{6}=0,000166\overline{6} = \frac{1}{6000}.
Logo
P_3(0,1)=0,1-\frac{1}{6000}=\frac{599}{6000}.
Em decimal,
P_3(0,1)=0,0998333333333333\ldots

Passo 5

Agora a estimativa do erro. Primeiro método (resto de Lagrange): a fórmula do resto após o polinômio de ordem 3 é
R_3(x)=\frac{f^{(4)}(\xi)}{4!}x^4
para algum \xi entre 0 e x. Para f(x)=\operatorname{sen}(x) temos f^{(4)}(x)=\operatorname{sen}(x), e portanto |f^{(4)}(\xi)|\le 1 para todo \xi. Assim um limite para o erro é
|R_3(0,1)|\le\frac{|0,1|^4}{4!}=\frac{0,1^4}{24}.
Calculando:
0,1^4=0,0001,
\frac{0,0001}{24}=\frac{1}{240000}\approx 0,0000041666666667.
Portanto, pelo resto de Lagrange,
|R_3(0,1)|\le 0,0000041666666667.

Passo 6

Um limite muito mais apertado vem do fato de que a série de Maclaurin de \operatorname{sen}(x) é alternada e seus termos em módulo decrescem rapidamente para x pequeno. A série é
\operatorname{sen}(x)=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots.
Para uma série alternada com termos decrescentes em módulo, o erro ao truncar após um termo é no máximo o módulo do primeiro termo omitido. Truncamos depois do termo em x^3, então o próximo termo omitido tem magnitude \dfrac{|x|^5}{5!}. Assim
|R_3(0,1)|\le\frac{0,1^5}{5!}=\frac{0,00001}{120}.
Calculando:
\frac{0,00001}{120}=\frac{1}{12000000}\approx 0,0000000833333333.
Esse é um limite muito mais preciso: o erro real é menor que aproximadamente 8{,}33\times 10^{-8}.

Passo 7

Resumo prático: a aproximação de ordem 3 deu exatamente \dfrac{599}{6000} e em decimal 0,0998333333333333\ldots. O erro máximo garantido pelo resto de Lagrange é cerca de 4{,}17\times 10^{-6}, mas usando o fato de que a série de seno é alternada obtemos um limite bem mais forte: cerca de 8{,}33\times 10^{-8}. Isso significa que a aproximação 0,0998333333333 está excelente — o erro é menor que 10^{-7} se usarmos o argumento da série alternada.

Resposta

\operatorname{sen}(0,1)\approx 0,0998333333333333
|R_3(0,1)|\le 0,0000000833333333 (limite mais preciso via série alternada; pelo resto de Lagrange |R_3(0,1)|\le 0,0000041666666667)

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