(2.5 pontos) Prove que a equação
tem exatamente uma raiz real, usando derivadas e análise do gráfico da função associada à equação.
Passo 1
O enunciado pede: provar que a equação
tem exatamente uma raiz real, usando derivadas e análise do gráfico da função associada.
Informações dadas e relevantes: a equação é polinomial de 3º grau; a função associada é contínua e derivável em toda a reta; podemos usar derivadas (para monotonicidade/forma do gráfico) e propriedades de funções contínuas (para garantir existência de raiz).
Informações dadas e relevantes: a equação é polinomial de 3º grau; a função associada é contínua e derivável em toda a reta; podemos usar derivadas (para monotonicidade/forma do gráfico) e propriedades de funções contínuas (para garantir existência de raiz).
Passo 2
Defino a função associada à equação:
Explico: associar a equação a uma função é padrão — zeros de
são exatamente as soluções de
. Como
é um polinômio, ela é contínua e derivável em todo
(isso é uma propriedade básica de polinômios).
Passo 3
Calculo a derivada de
:
Comentário didático: a derivada
mede a inclinação da reta tangente a
em cada ponto
. Aqui
é sempre não negativo, então
é sempre maior ou igual a
.
Passo 4
Analiso o sinal de
: para todo
,
logo
para todo
. Ensino o resultado usado: se uma função é derivável e sua derivada é estritamente positiva em todo um intervalo, então a função é estritamente crescente nesse intervalo. Intuição: a inclinação da tangente nunca é negativa ou zero, portanto a função sobe sempre que
aumenta.
Passo 5
Concluo unicidade da raiz: como
é estritamente crescente em
,
é injetora — isto é, não pode assumir o mesmo valor em dois pontos diferentes. Em particular, a equação
pode ter no máximo uma solução real. Portanto existe no máximo uma raiz real.
Passo 6
Mostro existência da raiz (ou seja, que existe pelo menos uma): avalio
em pontos simples:
Como
é contínua (é polinômio) e
e
têm sinais opostos, o Teorema do Valor Intermediário garante que existe
tal que
. Explicação didática: uma função contínua que troca de sinal entre dois pontos precisa passar por zero entre eles.
Passo 7
Combino os dois fatos: da etapa anterior sabemos que existe pelo menos uma raiz em
; da etapa 5 sabemos que há no máximo uma raiz em
. Portanto existe exatamente uma raiz real. Em termos do gráfico: a curva de
é contínua, sobe sempre (derivada positiva), vem de
quando
e vai para
quando
; cruzando o eixo
uma única vez, no ponto onde
.
Resposta
A equação
tem exatamente uma raiz real (essa raiz está em
).