(2.5 pontos) Prove que a equação x^{3}+x-1=0 tem exatamente uma raiz real, usando derivadas e análise do gráfico da função associada à equação.

Passo 1

O enunciado pede: provar que a equação x^{3}+x-1=0 tem exatamente uma raiz real, usando derivadas e análise do gráfico da função associada.
Informações dadas e relevantes: a equação é polinomial de 3º grau; a função associada é contínua e derivável em toda a reta; podemos usar derivadas (para monotonicidade/forma do gráfico) e propriedades de funções contínuas (para garantir existência de raiz).

Passo 2

Defino a função associada à equação:
f(x)=x^{3}+x-1.
Explico: associar a equação a uma função é padrão — zeros de f são exatamente as soluções de f(x)=0. Como f é um polinômio, ela é contínua e derivável em todo \mathbb{R} (isso é uma propriedade básica de polinômios).

Passo 3

Calculo a derivada de f:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}+x-1\bigr)=3x^{2}+1.
Comentário didático: a derivada f'(x) mede a inclinação da reta tangente a f em cada ponto x. Aqui 3x^{2} é sempre não negativo, então 3x^{2}+1 é sempre maior ou igual a 1.

Passo 4

Analiso o sinal de f'(x): para todo x\in\mathbb{R},
3x^{2}\ge 0 \quad\Rightarrow\quad 3x^{2}+1\ge 1>0,
logo f'(x)>0 para todo x. Ensino o resultado usado: se uma função é derivável e sua derivada é estritamente positiva em todo um intervalo, então a função é estritamente crescente nesse intervalo. Intuição: a inclinação da tangente nunca é negativa ou zero, portanto a função sobe sempre que x aumenta.

Passo 5

Concluo unicidade da raiz: como f é estritamente crescente em \mathbb{R}, f é injetora — isto é, não pode assumir o mesmo valor em dois pontos diferentes. Em particular, a equação f(x)=0 pode ter no máximo uma solução real. Portanto existe no máximo uma raiz real.

Passo 6

Mostro existência da raiz (ou seja, que existe pelo menos uma): avalio f em pontos simples:
f(0)=0^{3}+0-1=-1<0,
f(1)=1^{3}+1-1=1>0.
Como f é contínua (é polinômio) e f(0) e f(1) têm sinais opostos, o Teorema do Valor Intermediário garante que existe c\in(0,1) tal que f\text{(c)}=0. Explicação didática: uma função contínua que troca de sinal entre dois pontos precisa passar por zero entre eles.

Passo 7

Combino os dois fatos: da etapa anterior sabemos que existe pelo menos uma raiz em (0,1); da etapa 5 sabemos que há no máximo uma raiz em \mathbb{R}. Portanto existe exatamente uma raiz real. Em termos do gráfico: a curva de f é contínua, sobe sempre (derivada positiva), vem de -\infty quando x\to -\infty e vai para +\infty quando x\to +\infty; cruzando o eixo x uma única vez, no ponto onde f(x)=0.

Resposta

A equação x^{3}+x-1=0 tem exatamente uma raiz real (essa raiz está em (0,1)).

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