Exercício 24: Um vagão de metrô tem 10 bancos individuais, sendo 5 de frente e 5 de costas. De 10 passageiros, 4 preferem sentar de frente, 3 preferem sentar de costas e os demais não têm preferência. De quantos modos os passageiros podem se sentar, respeitando-se as preferências?
Passo 1
O enunciado descreve um vagão com 10 assentos, sendo 5 voltados para a frente e 5 voltados para trás. Há 10 passageiros: 4 que só aceitam assentos de frente, 3 que só aceitam assentos de costas e 3 sem preferência. O conteúdo aqui é contagem de permutações com restrições de posição em “blocos” de assentos (frente e costas).
Passo 2
Primeiro vamos sentar os 4 passageiros que preferem frente nos 5 assentos de frente. O número de maneiras de escolher e ordenar 4 pessoas em 5 assentos é a permutação
Passo 3
Em seguida vamos sentar os 3 passageiros que preferem costas nos 5 assentos de costas. De modo análogo, o número de maneiras é
Passo 4
Após esses dois grupos, restam
assento de frente e
assentos de costas livres, totalizando
assentos para os
passageiros sem preferência. Eles podem ser distribuídos nesses 3 assentos de qualquer forma, ou seja,
modos:
Resposta
Multiplicando todas as etapas, o total de acomodações respeitando as preferências é