Exercício 24: Um vagão de metrô tem 10 bancos individuais, sendo 5 de frente e 5 de costas. De 10 passageiros, 4 preferem sentar de frente, 3 preferem sentar de costas e os demais não têm preferência. De quantos modos os passageiros podem se sentar, respeitando-se as preferências?

Passo 1

O enunciado descreve um vagão com 10 assentos, sendo 5 voltados para a frente e 5 voltados para trás. Há 10 passageiros: 4 que só aceitam assentos de frente, 3 que só aceitam assentos de costas e 3 sem preferência. O conteúdo aqui é contagem de permutações com restrições de posição em “blocos” de assentos (frente e costas).

Passo 2

Primeiro vamos sentar os 4 passageiros que preferem frente nos 5 assentos de frente. O número de maneiras de escolher e ordenar 4 pessoas em 5 assentos é a permutação
\mathrm{P}(5,4)=5\times4\times3\times2=\frac{5!}{(5-4)!}=120.

Passo 3

Em seguida vamos sentar os 3 passageiros que preferem costas nos 5 assentos de costas. De modo análogo, o número de maneiras é
\mathrm{P}(5,3)=5\times4\times3=\frac{5!}{(5-3)!}=60.

Passo 4

Após esses dois grupos, restam 1 assento de frente e 2 assentos de costas livres, totalizando 3 assentos para os 3 passageiros sem preferência. Eles podem ser distribuídos nesses 3 assentos de qualquer forma, ou seja, 3! modos:
3! = 6.

Resposta

Multiplicando todas as etapas, o total de acomodações respeitando as preferências é
120 \times 60 \times 6 = 43200.

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