Exercício 22: Considerando um caso hipotético que as Torres são diferentes entre sim (por exemplo, cores distintas), de quantos modos podemos arrumar 8 torres diferentes em um tabuleiro de xadrez (
) de modo que não haja duas torres na mesma linha nem na mesma coluna?
Passo 1
O enunciado pede o número de maneiras de colocar oito torres diferentes em um tabuleiro
de modo que não haja duas torres na mesma linha nem na mesma coluna. O conteúdo é contagem de arranjos sujeitos a restrições de linhas e colunas, isto é, permutações.
Passo 2
Como não pode haver mais de uma torre em cada linha nem em cada coluna, em cada linha haverá exatamente uma torre e, reciprocamente, em cada coluna haverá exatamente uma. Escolher para cada uma das 8 linhas uma coluna distinta equivale a escolher uma bijeção da linha
para a coluna
. O número de bijeções em um conjunto de 8 elementos é
Passo 3
Até agora contamos apenas as posições (o padrão de quadrados) onde as torres ficarão, sem distinguir qual torre vai para cada posição. Como as torres são diferentes, para cada um desses padrões de quadrados precisamos atribuir as 8 torres às 8 posições. Isso também pode ser feito de
maneiras (é outra permutação).
Passo 4
Pelo princípio multiplicativo, primeiro escolho o padrão de colunas (
maneiras) e depois distribuo as torres nesse padrão (
maneiras). Logo o total de arranjos é