Exercício 4.30 (Resolvido) Esboce o gráfico de
fazendo a análise de:
(i) domínio (maximal);
(ii) raízes;
(iii) limites laterais em pontos extremos do domínio e assíntotas verticais;
(iv) pontos críticos e intervalos de crescimento e decrescimento (estudo da primeira derivada);
(v) concavidades e pontos de inflexão (estudo da segunda derivada);
(vi) assíntotas não verticais (inclui as horizontais).
(i) domínio (maximal);
(ii) raízes;
(iii) limites laterais em pontos extremos do domínio e assíntotas verticais;
(iv) pontos críticos e intervalos de crescimento e decrescimento (estudo da primeira derivada);
(v) concavidades e pontos de inflexão (estudo da segunda derivada);
(vi) assíntotas não verticais (inclui as horizontais).
Passo 1
O enunciado pede para esboçarmos o gráfico da função
fazendo toda a análise típica de função racional: domínio, zeros, limites laterais e assíntotas verticais, estudo de
(crescimento/decrescimento e extremos), estudo de
(concavidade e pontos de inflexão) e assíntota horizontal. Vamos passo a passo.
Passo 2
Domínio: não podemos ter
, logo
. Assim
Zeros da função: resolvemos
Passo 3
Limites nas assíntotas verticais
.
Para ,
e
, logo
Para
Para
,
e
, logo
Para
, tem-se
e
, logo
Para
,
e
, logo
Passo 4
Limite para
. Escrevendo
vemos que, quando
, a fração vai a
e
Portanto há assíntota horizontal
.
Passo 5
Derivada primeira. Usando a regra do quociente em
obtemos
As raízes de
são
;
não existe em
.
Como sempre, o sinal de
é o sinal de
:
para ,
(decrescente); para
,
(crescente).
Logo há um mínimo local em , com
Como
para
Logo há um mínimo local em
Passo 6
Derivada segunda. Partindo de
e diferenciando, chega-se a
O numerador
para todo
. O sinal de
depende, então, de
:
- Se
, e (concavidade para baixo). - Se
, e (concavidade para cima).
Não há ponto de inflexão na parte interna do domínio, poisnão se anula.
Passo 7
Resumo final do esboço:
- Domínio em três ramos com assíntotas verticais em
e . - Assíntota horizontal em
. - Zeros em
. - Monotonia: decrescente em
e ; crescente em e . - Mínimo local em
. - Concavidade: para baixo em
e ; para cima em .
Com essas informações, desenha-se cada ramo aproximando-se das assíntotas e passando pelos pontos críticos.
Resposta
A função tem domínio
, zeros em
, assíntotas verticais
, assíntota horizontal
, mínimo local em
, é decrescente para
e crescente para
, concavidade para cima em
e para baixo em
. O esboço segue esse comportamento.