Exercício 4.30 (Resolvido) Esboce o gráfico de f(x)=-\frac{x^{2}}{x^{2}-4}-2 fazendo a análise de:
(i) domínio (maximal);
(ii) raízes;
(iii) limites laterais em pontos extremos do domínio e assíntotas verticais;
(iv) pontos críticos e intervalos de crescimento e decrescimento (estudo da primeira derivada);
(v) concavidades e pontos de inflexão (estudo da segunda derivada);
(vi) assíntotas não verticais (inclui as horizontais).

Passo 1

O enunciado pede para esboçarmos o gráfico da função
f(x) = -\frac{x^{2}}{x^{2}-4} - 2
fazendo toda a análise típica de função racional: domínio, zeros, limites laterais e assíntotas verticais, estudo de f' (crescimento/decrescimento e extremos), estudo de f'' (concavidade e pontos de inflexão) e assíntota horizontal. Vamos passo a passo.

Passo 2

Domínio: não podemos ter x^{2}-4=0, logo x\neq \pm 2. Assim
\text{Dom}(f)=(-\infty,-2)\,\cup\,(-2,2)\,\cup\,(2,\infty).
Zeros da função: resolvemos
-\frac{x^{2}}{x^{2}-4}-2=0 \;\Longrightarrow\; \frac{x^{2}}{x^{2}-4}=-2 \;\Longrightarrow\; 3x^{2}=8 \;\Longrightarrow\; x=\pm\sqrt{\tfrac{8}{3}}.

Passo 3

Limites nas assíntotas verticais x=\pm2.
Para x\to 2^{-}, x^{2}-4<0 e -x^{2}<0, logo
f(x)\to +\infty.
Para x\to 2^{+}, x^{2}-4>0 e -x^{2}<0, logo
f(x)\to -\infty.
Para x\to -2^{-}, tem-se x^{2}-4>0 e -x^{2}<0, logo
f(x)\to -\infty.
Para x\to -2^{+}, x^{2}-4<0 e -x^{2}<0, logo
f(x)\to +\infty.

Passo 4

Limite para x\to\pm\infty. Escrevendo
f(x)=-\frac{x^{2}}{x^{2}-4}-2 =-\frac{1}{1-\tfrac{4}{x^{2}}}-2
vemos que, quando x\to\pm\infty, a fração vai a -1 e
f(x)\to -1 -2 = -3.
Portanto há assíntota horizontal y=-3.

Passo 5

Derivada primeira. Usando a regra do quociente em \displaystyle -\frac{x^{2}}{x^{2}-4} obtemos
f'(x) =\frac{(-2x)(x^{2}-4)-(-x^{2})(2x)}{(x^{2}-4)^{2}} =\frac{8x}{(x^{2}-4)^{2}}.
As raízes de f' são x=0; f' não existe em x=\pm 2.
Como (x^{2}-4)^{2}>0 sempre, o sinal de f' é o sinal de x:
para x<0, f'<0 (decrescente); para x>0, f'>0 (crescente).
Logo há um mínimo local em x=0, com
f(0) = -\frac{0}{-4}-2 = -2.

Passo 6

Derivada segunda. Partindo de \displaystyle f'(x)=8x\,(x^{2}-4)^{-2} e diferenciando, chega-se a
f''(x) =-8\,\frac{3x^{2}+4}{(x^{2}-4)^{3}}.
O numerador 3x^{2}+4>0 para todo x. O sinal de f'' depende, então, de (x^{2}-4)^{3}:
  • Se |x|>2, x^{2}-4>0 e f''<0 (concavidade para baixo).
  • Se |x|<2, x^{2}-4<0 e f''>0 (concavidade para cima).
    Não há ponto de inflexão na parte interna do domínio, pois f'' não se anula.

Passo 7

Resumo final do esboço:
  • Domínio em três ramos com assíntotas verticais em x=-2 e x=2.
  • Assíntota horizontal em y=-3.
  • Zeros em x=\pm\sqrt{8/3}.
  • Monotonia: decrescente em (-\infty,-2) e ( -2,0); crescente em (0,2) e (2,\infty).
  • Mínimo local em (0,-2).
  • Concavidade: para baixo em (-\infty,-2) e (2,\infty); para cima em (-2,2).
Com essas informações, desenha-se cada ramo aproximando-se das assíntotas e passando pelos pontos críticos.

Resposta

A função tem domínio (-\infty,-2)\cup(-2,2)\cup(2,\infty), zeros em \pm\sqrt{8/3}, assíntotas verticais x=\pm2, assíntota horizontal y=-3, mínimo local em (0,-2), é decrescente para x<0 e crescente para x>0, concavidade para cima em |x|<2 e para baixo em |x|>2. O esboço segue esse comportamento.

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