Exercício 25. Calcule os seguintes módulos:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a desigualdade com valor absoluto
Informações dadas:
- A expressão dentro do módulo é
. - A constante do lado direito é
. - O sinal é
, ou seja, queremos todos os reais que tornam o módulo maior ou igual a .
Passo 2
Entendendo o módulo (valor absoluto) de forma prática: para qualquer número real
Interpretando geometricamente,
até
na reta real. Portanto, a desigualdade
, com
, significa que a distância de
até
é pelo menos
. Isso acontece exatamente quando
está à direita de
(ou seja
) ou à esquerda de
(ou seja
). Logo, para
temos a equivalência
Passo 3
Aplicando essa ideia ao nosso caso, tome
e
. Assim
Passo 4
Resolver cada desigualdade linear simples:
- Se
, subtraindo de ambos os lados obtemos
- Se
, subtraindo de ambos os lados obtemos
Passo 5
Combinar as duas soluções: a desigualdade original é satisfeita sempre que
ou
. Em notação de intervalos isso fica
Passo 6
Verificações rápidas (sanidade): testar um ponto interior e os pontos fronteira.
- Ponto entre os intervalos, por exemplo
: (não satisfaz) — OK. - Fronteiras:
dá (satisfaz porque ); dá (satisfaz). Então os extremos com colchetes estão corretos.