Exercício 25. Calcule os seguintes módulos:
|x+1| \geq 4

Passo 1

O enunciado pede para resolver a desigualdade com valor absoluto
|x+1| \geq 4.
Informações dadas:
  • A expressão dentro do módulo é x+1.
  • A constante do lado direito é 4.
  • O sinal é \geq, ou seja, queremos todos os x reais que tornam o módulo maior ou igual a 4.

Passo 2

Entendendo o módulo (valor absoluto) de forma prática: para qualquer número real u\) vale a definição \[|u| = \begin{cases} u, & \text{se } u \ge 0,\\[4pt] -u, & \text{se } u < 0. \end{cases}
Interpretando geometricamente, |u|\] é a distância de \(u até 0 na reta real. Portanto, a desigualdade |u|\ge a, com a\ge 0, significa que a distância de u até 0 é pelo menos a. Isso acontece exatamente quando u está à direita de a (ou seja u\ge a) ou à esquerda de -a (ou seja u\le -a). Logo, para a\ge0 temos a equivalência
|u|\ge a \quad\Longleftrightarrow\quad u\ge a \\ \text{ ou }\\ u\le -a.]

Passo 3

Aplicando essa ideia ao nosso caso, tome u = x+1 e a=4. Assim
|x+1| \ge 4 \quad\Longleftrightarrow\quad x+1 \ge 4 \\ \text{ ou }\\ x+1 \le -4.

Passo 4

Resolver cada desigualdade linear simples:
  • Se x+1 \ge 4, subtraindo 1 de ambos os lados obtemos
x \ge 3.
  • Se x+1 \le -4, subtraindo 1 de ambos os lados obtemos
x \le -5.

Passo 5

Combinar as duas soluções: a desigualdade original é satisfeita sempre que x \le -5 ou x \ge 3. Em notação de intervalos isso fica
(-\infty, -5] \cup [3, \infty).

Passo 6

Verificações rápidas (sanidade): testar um ponto interior e os pontos fronteira.
  • Ponto entre os intervalos, por exemplo x=0: |0+1|=1<4 (não satisfaz) — OK.
  • Fronteiras: x=-5 |-5+1|=|-4|=4 (satisfaz porque \ge 4); x=3 |3+1|=4 (satisfaz). Então os extremos com colchetes estão corretos.

Resposta

(-\infty, -5] \cup [3, \infty)

Exercícios relacionados