Resolva as inequações:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a inequação
.
Ou seja: encontrar todos os números reais para os quais a fração
é maior ou igual a zero.
Ou seja: encontrar todos os números reais
Informações dadas:
- A expressão é uma razão entre dois polinômios: numerador
e denominador . - Devemos lembrar que a expressão não está definida quando o denominador é zero.
Passo 2
Primeiro identificamos os pontos críticos (zeros do numerador e zeros do denominador):
Resolver o numerador igual a zero:
Resolver o denominador igual a zero:
Esses dois valores,
e
, particionam a reta real em intervalos onde o sinal da expressão é constante. Anotar também que
não pertence ao domínio (a expressão fica indefinida).
Passo 3
Explicação do método (bem didática): para uma fração
com
e
contínuos, o sinal da fração depende apenas do sinal de
e de
. Onde
a fração vale zero (desde que
); onde
a fração é indefinida (vertical asymptote).
Sendo e
fatores lineares, cada um muda de sinal ao atravessar sua raiz. Assim, basta analisar o sinal de cada fator em cada intervalo determinado por
e
.
Sendo
Os intervalos são:
,
e
.
Passo 4
Analisar o sinal da fração em cada intervalo usando pontos de teste simples:
-
Para
(está em ): Logo a expressão é negativa nesse intervalo. -
Para
(está em ): Logo a expressão é positiva nesse intervalo. -
Para
(está em ): Logo a expressão é negativa nesse intervalo.
Passo 5
Tratar os pontos críticos:
- Em
o numerador zera e o denominador é . Portanto a expressão vale em , e como queremos este ponto deve ser incluído. - Em
o denominador zera, a expressão fica indefinida, logo não pode ser incluído.
Com isso, concluímos quais intervalos satisfazem a inequação (ver