Resolva as inequações:
\frac{3 x-2}{2-x} \geq 0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação \dfrac{3x-2}{2-x}\geq 0.
Ou seja: encontrar todos os números reais x para os quais a fração \dfrac{3x-2}{2-x} é maior ou igual a zero.
Informações dadas:
  • A expressão é uma razão entre dois polinômios: numerador 3x-2 e denominador 2-x.
  • Devemos lembrar que a expressão não está definida quando o denominador é zero.

Passo 2

Primeiro identificamos os pontos críticos (zeros do numerador e zeros do denominador):
Resolver o numerador igual a zero:
3x-2=0 \quad\Rightarrow\quad x=\dfrac{2}{3}.
Resolver o denominador igual a zero:
2-x=0 \quad\Rightarrow\quad x=2.
Esses dois valores, x=\dfrac{2}{3} e x=2, particionam a reta real em intervalos onde o sinal da expressão é constante. Anotar também que x=2 não pertence ao domínio (a expressão fica indefinida).

Passo 3

Explicação do método (bem didática): para uma fração \dfrac{A(x)}{B(x)} com A e B contínuos, o sinal da fração depende apenas do sinal de A(x) e de B(x). Onde A(x)=0 a fração vale zero (desde que B(x)\neq0); onde B(x)=0 a fração é indefinida (vertical asymptote).
Sendo 3x-2 e 2-x fatores lineares, cada um muda de sinal ao atravessar sua raiz. Assim, basta analisar o sinal de cada fator em cada intervalo determinado por \dfrac{2}{3} e 2.
Os intervalos são: (-\infty,\tfrac{2}{3}), (\tfrac{2}{3},2) e (2,\infty).

Passo 4

Analisar o sinal da fração em cada intervalo usando pontos de teste simples:
  • Para x=0 (está em (-\infty,\tfrac{2}{3})):
    \dfrac{3\cdot 0-2}{2-0}=\dfrac{-2}{2}=-1<0.
    Logo a expressão é negativa nesse intervalo.
  • Para x=1 (está em (\tfrac{2}{3},2)):
    \dfrac{3\cdot1-2}{2-1}=\dfrac{1}{1}=1>0.
    Logo a expressão é positiva nesse intervalo.
  • Para x=3 (está em (2,\infty)):
    \dfrac{3\cdot3-2}{2-3}=\dfrac{7}{-1}=-7<0.
    Logo a expressão é negativa nesse intervalo.

Passo 5

Tratar os pontos críticos:
  • Em x=\dfrac{2}{3} o numerador zera e o denominador é 2-\dfrac{2}{3}=\dfrac{4}{3}\neq0. Portanto a expressão vale 0 em x=\dfrac{2}{3}, e como queremos \geq 0 este ponto deve ser incluído.
  • Em x=2 o denominador zera, a expressão fica indefinida, logo x=2 não pode ser incluído.
Com isso, concluímos quais intervalos satisfazem a inequação (ver

Resposta

\left[\dfrac{2}{3},2\right)

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