Exercício 25. Considere uma doença com prevalência de 100 / 1100=.09. Dois testes para detectar a doença são aplicados duas populações de 1100 pessoas, com resultados exibidos nas tabelas a seguir.
(Teste I) Doente Saudável
Teste positivo 68 20
Teste negativo 32 980
(Teste II) Doente Saudável
Teste positivo 98 320
Teste negativo 2 680
a) Encontre a taxa de sensibilidade (verdadeiro positivo) e de especificidade (verdadeiro negativo) de cada um dos testes.
b) Encontre, para ambos os casos a probabilidade de que um paciente esteja realmente doente dado que teve resultado do teste positivo.
c) Encontre, para ambos os casos a probabilidade de que um paciente esteja realmente saudável dado que teve resultado do teste negativo.
d) Faça conclusões sobre a confidência que há afirmar que uma pessoa está doente ou saudável após realizar cada um dos testes, relacione com as taxas de sensibilidade e sensitividade.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que é pedido (peguei os números das tabelas do enunciado).
  • População total: 1100 pessoas.
  • Prevalência da doença: \dfrac{100}{1100}=0,090909\ldots (ou seja, 100 pessoas doentes e 1000 saudáveis).
  • Tabela do Teste I (valores retirados da tabela do enunciado):
    • Verdadeiro positivo (doente e teste positivo): 68.
    • Falso negativo (doente e teste negativo): 32.
    • Falso positivo (saudável e teste positivo): 20.
    • Verdadeiro negativo (saudável e teste negativo): 980.
  • Tabela do Teste II (valores retirados da tabela do enunciado):
    • Verdadeiro positivo: 98.
    • Falso negativo: 2.
    • Falso positivo: 320.
    • Verdadeiro negativo: 680.
O enunciado pede:
(a) encontrar a sensibilidade (verdadeiro positivo) e a especificidade (verdadeiro negativo) de cada teste;
(b) para cada teste, a probabilidade de que uma pessoa esteja realmente doente dado que teve teste positivo;
(c) para cada teste, a probabilidade de que uma pessoa esteja realmente saudável dado que teve teste negativo;
(d) conclusões sobre a confiança nas afirmações “a pessoa está doente” ou “a pessoa está saudável” após cada teste, relacionando com sensibilidade e especificidade.

Passo 2

Definições fundamentais (aulas rapidinhas e didáticas):
  • Sensibilidade: é a capacidade do teste em detectar quem tem a doença. Formalmente,
\text{sensibilidade} = P(+\mid D)=\frac{\text{verdadeiros positivos}}{\text{total de doentes}}.
Aqui \,+ significa “teste positivo” e D significa “doente”.
  • Especificidade: é a capacidade do teste em identificar quem é saudável. Formalmente,
\text{especificidade} = P(-\mid H)=\frac{\text{verdadeiros negativos}}{\text{total de saudáveis}}.á
Aqui - significa “teste negativo” e H significa “saudável”.
Essas duas taxas medem desempenho do teste condicionadas ao estado real da pessoa (são probabilidades condicionais do resultado dado o estado).

Passo 3

Calcular sensibilidade e especificidade do Teste I usando os números da tabela:
  • Total de doentes: 68+32=100.
  • Total de saudáveis: 20+980=1000.
Sensibilidade do Teste I:
\text{sensibilidade}_{I}=P(+\mid D)=\frac{68}{100}=0,68=68\%.
Especificidade do Teste I:
\text{especificidade}_{I}=P(-\mid H)=\frac{980}{1000}=0,98=98\%.

Passo 4

Calcular sensibilidade e especificidade do Teste II usando os números da tabela:
  • Total de doentes: 98+2=100.
  • Total de saudáveis: 320+680=1000.
Sensibilidade do Teste II:
\text{sensibilidade}_{II}=P(+\mid D)=\frac{98}{100}=0,98=98\%.
Especificidade do Teste II:
\text{especificidade}_{II}=P(-\mid H)=\frac{680}{1000}=0,68=68\%.

Passo 5

Agora as probabilidades condicionais na direção que nos interessa na prática (o que o médico quer saber): probabilidade de estar doente dado teste positivo e probabilidade de estar saudável dado teste negativo. Essas são chamadas, respectivamente, valor preditivo positivo (VPP) e valor preditivo negativo (VPN).
Definições e fórmula (fórmula de Bayes numa forma prática):
P(D\mid+)=\frac{P(+\mid D)\,P(D)}{P(+)}\quad\text{e}\quad P(H\mid-)=\frac{P(-\mid H)\,P(H)}{P(-)}.
Mas, como temos toda a tabela com contagens absolutas (população de 1100), é mais simples e direto calcular pelo raciocínio de contagem:
P(D\mid+)=\frac{\text{verdadeiros positivos}}{\text{total de testes positivos}}.
P(H\mid-)=\frac{\text{verdadeiros negativos}}{\text{total de testes negativos}}.

Passo 6

Calcular P(D\mid+) (probabilidade de realmente estar doente dado teste positivo) para cada teste pelo método das contagens.
Teste I:
  • Total de testes positivos: 68+20=88.
P(D\mid +)_{I}=\frac{68}{88}=\frac{68}{88}\approx0,7727\approx77,27\%.
Teste II:
  • Total de testes positivos: 98+320=418.
P(D\mid +)_{II}=\frac{98}{418}\approx0,2345\approx23,45\%.
(Observação didática: mesmo que o Teste II tenha sensibilidade maior, o seu grande número de falsos positivos ( 320) faz com que um positivo muitas vezes seja falso; por isso P(D\mid+) é menor.)

Passo 7

Calcular P(H\mid-) (probabilidade de realmente estar saudável dado teste negativo) para cada teste pelo método das contagens.
Teste I:
  • Total de testes negativos: 32+980=1012.
P(H\mid -)_{I}=\frac{980}{1012}=\frac{245}{253}\approx0,9684\approx96,84\%.
Teste II:
  • Total de testes negativos: 2+680=682.
P(H\mid -)_{II}=\frac{680}{682}=\frac{340}{341}\approx0,9971\approx99,71\%.
(Observação didática: Teste II tem sensibilidade muito alta, então é muito raro que um doente dê negativo — isso aumenta muito a confiança de que um negativo significa realmente saudável.)

Passo 8

Interpretação final e conclusões (ligando sensibilidade/especificidade com as probabilidades que importam na prática):
  • Teste I: \text{sensibilidade}=68\% e \text{especificidade}=98\%.
    • Um teste positivo no Teste I dá alta probabilidade de doença: P(D\mid+)\approx77,27\%. Ou seja, um positivo é relativamente confiável para afirmar doença.
    • Um teste negativo dá P(H\mid-)\approx96,84\%: também bastante confiável para excluir a doença, mas não tanto quanto o negativo do Teste II.
  • Teste II: \text{sensibilidade}=98\% e \text{especificidade}=68\%.
    • Um teste positivo no Teste II dá baixa probabilidade de doença: P(D\mid+)\approx23,45\%. Portanto, um positivo aqui é pouco confiável (muitos falsos positivos).
    • Um teste negativo dá P(H\mid-)\approx99,71\%: extremamente confiável para afirmar que a pessoa está saudável (o Teste II raramente perde um doente).
  • Regra prática / trade-off:
    • Sensibilidade alta reduz falsos negativos e aumenta a confiança em resultados negativos (bom para “triagem” que não quer perder casos).
    • Especificidade alta reduz falsos positivos e aumenta a confiança em resultados positivos (bom para confirmar diagnóstico).
    • O valor preditivo positivo P(D\mid+) depende também da prevalência: com prevalência baixa, mesmo testes com boa sensibilidade podem ter VPP baixo se a especificidade for ruim (caso do Teste II).
    • Conclusão operacional: se o objetivo for “não perder doentes” (triagem), o Teste II é melhor (alta sensibilidade e excelente NPV). Se o objetivo for “confirmar a doença” (decidir tratamento agressivo), o Teste I é preferível (alta especificidade e VPP muito maior).

Resposta

(a) Teste I: sensibilidade =0,68 (68%), especificidade =0,98 (98%).
Teste II: sensibilidade =0,98 (98%), especificidade =0,68 (68%).
(b) Teste I: P(D\mid+)=\dfrac{68}{88}\approx0,7727 (77,27%).
Teste II: P(D\mid+)=\dfrac{98}{418}\approx0,2345 (23,45%).
(c) Teste I: P(H\mid-)=\dfrac{980}{1012}\approx0,9684 (96,84%).
Teste II: P(H\mid-)=\dfrac{680}{682}\approx0,9971 (99,71%).
(d) Conclusões: o Teste I (alta especificidade) é mais confiável para confirmar doença após um resultado positivo (maior VPP); o Teste II (alta sensibilidade) é mais confiável para excluir doença após um resultado negativo (maior VPN).

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