Exercício (novo) 24. Uma empresa de eventos organiza um festival ao ar livre em determinado dia. Sabe-se que nessa região só chove 5 vezes ao ano. Infelizmente, uma semana antes do evento a previsão é que chova no dia do evento. Sabe-se que quando chove a previsão prevê a chuva
das vezes com uma semana de antecedência, enquanto que quando não chove, a previsão prevê erroneamente a chuva
das vezes. Encontre a probabilidade de chover no dia do festival. (Assuma que não é um ano bissexto)
Passo 1
O enunciado pede: “Encontre a probabilidade de chover no dia do festival”, dado que a previsão com uma semana de antecedência indica chuva. Informações fornecidas:
- Em um ano não bissexto há
dias. - Nessa região chove
dias por ano (peguei este dado do enunciado). - A previsão, uma semana antes, acerta chuva quando realmente chove em
dos casos (peguei este dado do enunciado). - A previsão erra e indica chuva quando na verdade não chove em
dos casos (peguei este dado do enunciado).
O que se quer calcular é a probabilidade de chover no dia do festival sabendo que a previsão disse que vai chover.
Passo 2
Definir eventos e probabilidades fundamentais (explicando o que cada símbolo significa):
- Seja
o evento “vai chover no dia do festival”. - Seja
o evento “a previsão, uma semana antes, prevê chuva”.
As probabilidades dadas/obtidas do enunciado: - Probabilidade a priori de chover num dia qualquer:
(porque chove 5 dias por ano). - Probabilidade de não chover:
. - Sensibilidade da previsão (probabilidade de prever chuva quando realmente chove):
. - Falso positivo da previsão (probabilidade de prever chuva quando não chove):
.
Passo 3
Apresentar a ferramenta que vamos usar (explicando a fórmula e cada termo): a Regra de Bayes permite calcular a probabilidade condicional inversa
a partir de probabilidades diretas.
A fórmula é:
A fórmula é:
onde
é a probabilidade total de a previsão dizer “chuva”. Essa
pode ser obtida pela fórmula da probabilidade total:
Explicando: o numerador
é a fração dos dias em que chove e a previsão acerta; o segundo termo de
agrega os dias em que não chove mas a previsão erra e ainda assim diz “chuva”.
Passo 4
Substituir os valores e simplificar passo a passo (mostrar contas que dá para fazer à mão):
Primeiro escrevo pela Bayes com a probabilidade total:
Primeiro escrevo
Agora substituo os números (todos em termos de frações/percentuais do enunciado):
Note que o denominador tem o fator comum
, que cancela; portanto posso multiplicar numerador e denominador por
para simplificar:
Calculo os termos:
Então
Dividindo numerador e denominador por
obtém-se
Em forma decimal isso é aproximadamente
Passo 5
Interpretação didática e dica para a prova: apesar da previsão acertar chuva
das vezes, a chance de chover dado que a previsão disse chuva acaba sendo pequena (
) porque o evento “chover” é muito raro (base rate baixo:
). Isso é um exemplo clássico do chamado “efeito da taxa base” (base rate): quando o evento é raro, mesmo um teste/previsão com alta sensibilidade pode produzir muitos falsos positivos em termos absolutos. Na prova, sempre identifique o evento raro, escreva Bayes e simplifique cancelando fatores comuns (aqui deu para cancelar
, o que facilita muito as contas).