Exercício (novo) 24. Uma empresa de eventos organiza um festival ao ar livre em determinado dia. Sabe-se que nessa região só chove 5 vezes ao ano. Infelizmente, uma semana antes do evento a previsão é que chova no dia do evento. Sabe-se que quando chove a previsão prevê a chuva 90 \% das vezes com uma semana de antecedência, enquanto que quando não chove, a previsão prevê erroneamente a chuva 10 \% das vezes. Encontre a probabilidade de chover no dia do festival. (Assuma que não é um ano bissexto)

Passo 1

O enunciado pede: “Encontre a probabilidade de chover no dia do festival”, dado que a previsão com uma semana de antecedência indica chuva. Informações fornecidas:
  • Em um ano não bissexto há 365 dias.
  • Nessa região chove 5 dias por ano (peguei este dado do enunciado).
  • A previsão, uma semana antes, acerta chuva quando realmente chove em 90\% dos casos (peguei este dado do enunciado).
  • A previsão erra e indica chuva quando na verdade não chove em 10\% dos casos (peguei este dado do enunciado).
    O que se quer calcular é a probabilidade de chover no dia do festival sabendo que a previsão disse que vai chover.

Passo 2

Definir eventos e probabilidades fundamentais (explicando o que cada símbolo significa):
  • Seja R o evento “vai chover no dia do festival”.
  • Seja F o evento “a previsão, uma semana antes, prevê chuva”.
    As probabilidades dadas/obtidas do enunciado:
  • Probabilidade a priori de chover num dia qualquer: \displaystyle P(R)=\frac{5}{365} (porque chove 5 dias por ano).
  • Probabilidade de não chover: \displaystyle P(R^{c})=1-P(R)=\frac{360}{365}.
  • Sensibilidade da previsão (probabilidade de prever chuva quando realmente chove): \displaystyle P(F\mid R)=90\%=0,90.
  • Falso positivo da previsão (probabilidade de prever chuva quando não chove): \displaystyle P(F\mid R^{c})=10\%=0,10.

Passo 3

Apresentar a ferramenta que vamos usar (explicando a fórmula e cada termo): a Regra de Bayes permite calcular a probabilidade condicional inversa \displaystyle P(R\mid F) a partir de probabilidades diretas.
A fórmula é:
P(R\mid F)=\frac{P(F\mid R)\,P(R)}{P(F)}
onde \displaystyle P(F) é a probabilidade total de a previsão dizer “chuva”. Essa \displaystyle P(F) pode ser obtida pela fórmula da probabilidade total:
P(F)=P(F\mid R)P(R)+P(F\mid R^{c})P(R^{c}).
Explicando: o numerador \displaystyle P(F\mid R)P(R) é a fração dos dias em que chove e a previsão acerta; o segundo termo de \displaystyle P(F) agrega os dias em que não chove mas a previsão erra e ainda assim diz “chuva”.

Passo 4

Substituir os valores e simplificar passo a passo (mostrar contas que dá para fazer à mão):
Primeiro escrevo \displaystyle P(R\mid F) pela Bayes com a probabilidade total:
P(R\mid F)=\frac{P(F\mid R)P(R)}{P(F\mid R)P(R)+P(F\mid R^{c})P(R^{c})}.
Agora substituo os números (todos em termos de frações/percentuais do enunciado):
P(R\mid F)=\frac{0,90\cdot\dfrac{5}{365}}{0,90\cdot\dfrac{5}{365}+0,10\cdot\dfrac{360}{365}}.
Note que o denominador tem o fator comum \dfrac{1}{365}, que cancela; portanto posso multiplicar numerador e denominador por 365 para simplificar:
P(R\mid F)=\frac{0,90\cdot 5}{0,90\cdot 5+0,10\cdot 360}.
Calculo os termos:
0,90\cdot 5 = 4,5, \qquad 0,10\cdot 360 = 36.
Então
P(R\mid F)=\frac{4,5}{4,5+36}=\frac{4,5}{40,5}.
Dividindo numerador e denominador por 4,5 obtém-se
P(R\mid F)=\frac{1}{9}.
Em forma decimal isso é aproximadamente
P(R\mid F)\approx 0,111\ldots

Passo 5

Interpretação didática e dica para a prova: apesar da previsão acertar chuva 90\% das vezes, a chance de chover dado que a previsão disse chuva acaba sendo pequena ( \dfrac{1}{9}\approx0,111) porque o evento “chover” é muito raro (base rate baixo: 5/365). Isso é um exemplo clássico do chamado “efeito da taxa base” (base rate): quando o evento é raro, mesmo um teste/previsão com alta sensibilidade pode produzir muitos falsos positivos em termos absolutos. Na prova, sempre identifique o evento raro, escreva Bayes e simplifique cancelando fatores comuns (aqui deu para cancelar 365, o que facilita muito as contas).

Resposta

\dfrac{1}{9}\approx0,111

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