Exercício (novo) 23. Um aluno vai para aula de moto em 30 \% das vezes, de carona 30 \% das vezes e de ônibus 40 \% das vezes. Sabe-se que ele chega atrasado 5 \% das vezes que vai de moto, 40 \% das vezes que vai de carona e 20 \% das vezez que vai de ônibus.
a) Sabendo-se que o aluno chegou atrasado determinado dia, qual a probabilidade dele ter ido de carona?
b) Qual a probabilidade dele chegar a tempo dado que vai de moto?
c) Se não for de moto, qual a probabilidade dele chegar atrasado?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar exatamente os números que o problema informou):
  • Probabilidades de ir de cada meio de transporte:
    • Moto: P(\text{Moto})=0,3.
    • Carona: P(\text{Carona})=0,3.
    • Ônibus: P(\text{Ônibus})=0,4Ô.
  • Probabilidades condicionais de chegar atrasado dependendo do transporte:
    • P(\text{Atrasado}\mid \text{Moto})=0,05.
    • P(\text{Atrasado}\mid \text{Carona})=0,4.
    • P(\text{Atrasado}\mid \text{Ônibus})=0,2Ô.
O enunciado pede três coisas:
a) Sabendo que ele chegou atrasado num dia, qual a probabilidade de ele ter ido de carona? (queremos P(\text{Carona}\mid \text{Atrasado}).)
b) Qual a probabilidade dele chegar a tempo dado que vai de moto? (queremos P(\text{Não atrasado}\mid \text{Moto})ã.)
c) Se não for de moto, qual a probabilidade dele chegar atrasado? (queremos P(\text{Atrasado}\mid \text{Não Moto})ã.)

Passo 2

Definições e fórmulas que vamos usar (explicando cada símbolo com calma):
  • Denotemos o evento “chegar atrasado” por A.
  • Denotemos os modos de transporte por M (Moto), C (Carona) e B (Ônibus).
  • Regra da probabilidade total (quando M,C,B formam uma partição do espaço amostral):
P(A)=P(A\mid M)P(M)+P(A\mid C)P\text{(C)}+P(A\mid B)P(B).
Isto funciona porque toda vez que chega atrasado isso ocorre via exatamente um dos meios de transporte; somamos as contribuições de cada caso.
  • Fórmula de Bayes (para a pergunta a)):
P(C\mid A)=\frac{P(A\mid C)P\text{(C)}}{P(A)}.
Isto calcula a probabilidade de que o meio tenha sido carona dado que ocorreu o atraso, invertendo a condição usando as informações que temos.
Agora vamos calcular P(A) aplicando a regra da probabilidade total com os números dados:
P(A)=0,3\cdot0,05 + 0,3\cdot0,4 + 0,4\cdot0,2.
Calcule passo a passo:
0,3\cdot0,05 = 0,015, \qquad 0,3\cdot0,4 = 0,12, \qquad 0,4\cdot0,2 = 0,08.
Somando:
P(A)=0,015+0,12+0,08=0,215.

Passo 3

Resposta da letra (a) usando Bayes. Aplicando a fórmula:
P(C\mid A)=\frac{P(A\mid C)P\text{(C)}}{P(A)}=\frac{0,3\cdot0,4}{0,215}=\frac{0,12}{0,215}.
Podemos simplificar a fração multiplicando numerador e denominador por 1000 e reduzindo:
\frac{0,12}{0,215}=\frac{120}{215}=\frac{24}{43}.
Em decimal isso dá aproximadamente
P(C\mid A)\approx0,55814\quad(\text{ou }55,814\%).
Interpretação curta: entre as vezes em que ele chega atrasado, mais da metade ocorre quando ele foi de carona, porque a probabilidade de atraso indo de carona é relativamente alta.

Passo 4

Resposta da letra (b). Aqui perguntam a probabilidade de chegar a tempo dado que vai de moto. Usa-se a regra do complementar:
P(\text{Não atrasado}\mid M)=1-P(A\mid M).ã
Substituindo:
P(\text{Não atrasado}\mid M)=1-0,05=0,95.ã
Ou seja, se ele for de moto, a chance de chegar a tempo é 95\%.

Passo 5

Resposta da letra (c). Queremos P(A\mid \text{Não }M)ã. Use a definição de probabilidade condicional:
P(A\mid \text{Não }M)=\frac{P(A \cap \text{Não }M)}{P(\text{Not }M)}.ãã
Calculamos P(\text{Not }M)=1-P(M)=1-0,3=0,7.
Agora P(A \cap \text{Not }M) é a probabilidade de chegar atrasado e não ir de moto, isto é soma das probabilidades “atrasado e carona” e “atrasado e ônibus”:
P(A\cap C)=P(A\mid C)P\text{(C)}=0,4\cdot0,3=0,12, \qquad P(A\cap B)=P(A\mid B)P(B)=0,2\cdot0,4=0,08.
Então
P(A\cap \text{Not }M)=0,12+0,08=0,20.
Portanto
P(A\mid \text{Not }M)=\frac{0,20}{0,70}=\frac{2}{7}\approx0,285714\quad(\text{ou }28,5714\%).

Passo 6

Recapitulando de forma motivadora: fizemos o passo chave que é calcular a probabilidade total do atraso para depois aplicar Bayes na letra (a); na (b) usamos a ideia simples do complementar; na (c) aplicamos a definição de condicional restringindo ao caso “não moto”. Dá pra resolver essas questões de cabeça ao treinar um pouco: sempre identifique eventos, calcule P(A) pela soma ponderada e depois use Bayes quando quiser inverter uma condição. Força — tá indo bem!

Resposta

\dfrac{24}{43}\approx0,55814
0,95
\dfrac{2}{7}\approx0,285714

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