Exercício (novo) 23. Um aluno vai para aula de moto em
das vezes, de carona
das vezes e de ônibus
das vezes. Sabe-se que ele chega atrasado
das vezes que vai de moto,
das vezes que vai de carona e
das vezez que vai de ônibus.
a) Sabendo-se que o aluno chegou atrasado determinado dia, qual a probabilidade dele ter ido de carona?
b) Qual a probabilidade dele chegar a tempo dado que vai de moto?
c) Se não for de moto, qual a probabilidade dele chegar atrasado?
a) Sabendo-se que o aluno chegou atrasado determinado dia, qual a probabilidade dele ter ido de carona?
b) Qual a probabilidade dele chegar a tempo dado que vai de moto?
c) Se não for de moto, qual a probabilidade dele chegar atrasado?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou listar exatamente os números que o problema informou):
- Probabilidades de ir de cada meio de transporte:
- Moto:
. - Carona:
. - Ônibus:
.
- Moto:
- Probabilidades condicionais de chegar atrasado dependendo do transporte:
-
. -
. -
.
-
O enunciado pede três coisas:
a) Sabendo que ele chegou atrasado num dia, qual a probabilidade de ele ter ido de carona? (queremos .)
b) Qual a probabilidade dele chegar a tempo dado que vai de moto? (queremos .)
c) Se não for de moto, qual a probabilidade dele chegar atrasado? (queremos .)
a) Sabendo que ele chegou atrasado num dia, qual a probabilidade de ele ter ido de carona? (queremos
b) Qual a probabilidade dele chegar a tempo dado que vai de moto? (queremos
c) Se não for de moto, qual a probabilidade dele chegar atrasado? (queremos
Passo 2
Definições e fórmulas que vamos usar (explicando cada símbolo com calma):
- Denotemos o evento “chegar atrasado” por
. - Denotemos os modos de transporte por
(Moto), (Carona) e (Ônibus). - Regra da probabilidade total (quando
formam uma partição do espaço amostral):
Isto funciona porque toda vez que chega atrasado isso ocorre via exatamente um dos meios de transporte; somamos as contribuições de cada caso.
- Fórmula de Bayes (para a pergunta a)):
Isto calcula a probabilidade de que o meio tenha sido carona dado que ocorreu o atraso, invertendo a condição usando as informações que temos.
Agora vamos calcular
aplicando a regra da probabilidade total com os números dados:
Calcule passo a passo:
Somando:
Passo 3
Resposta da letra (a) usando Bayes. Aplicando a fórmula:
Podemos simplificar a fração multiplicando numerador e denominador por
e reduzindo:
Em decimal isso dá aproximadamente
Interpretação curta: entre as vezes em que ele chega atrasado, mais da metade ocorre quando ele foi de carona, porque a probabilidade de atraso indo de carona é relativamente alta.
Passo 4
Resposta da letra (b). Aqui perguntam a probabilidade de chegar a tempo dado que vai de moto. Usa-se a regra do complementar:
Substituindo:
Ou seja, se ele for de moto, a chance de chegar a tempo é
.
Passo 5
Resposta da letra (c). Queremos
. Use a definição de probabilidade condicional:
Calculamos
.
Agora
é a probabilidade de chegar atrasado e não ir de moto, isto é soma das probabilidades “atrasado e carona” e “atrasado e ônibus”:
Então
Portanto
Passo 6
Recapitulando de forma motivadora: fizemos o passo chave que é calcular a probabilidade total do atraso para depois aplicar Bayes na letra (a); na (b) usamos a ideia simples do complementar; na (c) aplicamos a definição de condicional restringindo ao caso “não moto”. Dá pra resolver essas questões de cabeça ao treinar um pouco: sempre identifique eventos, calcule
pela soma ponderada e depois use Bayes quando quiser inverter uma condição. Força — tá indo bem!