Exercício 26. A concentração de um medicamento é dada por
Explique o comportamento da função quando
.
Passo 1
O enunciado dá a função da concentração do medicamento em função do tempo:
e pede para explicar o comportamento dessa função quando
.
Informações relevantes que temos (explicitadas):
-
é uma constante (valor inicial de concentração quando , já que ). -
é uma constante (taxa de decaimento; sinal de não foi explicitado no enunciado). - A pergunta é: qual é o comportamento de
quando — isto é, qual é o limite e o que isso significa para a concentração ao longo do tempo.
Passo 2
Começamos escrevendo o limite que queremos estudar e usando uma propriedade simples de limites (fatorar constantes):
Explicação da propriedade usada: se
é uma constante e
existe, então
. Aqui
não depende de
, por isso pode sair do limite.
Passo 3
Agora analisamos o comportamento de
. É útil reescrever
como
Isto transforma o problema em entender o que acontece com
quando
. Existem três casos para
:
,
e
. Vamos estudar cada caso separadamente.
Passo 4
Caso
:
- Se
, então quando , e portanto . - Como
, temos . - Aplicando o passo 2,
.
Intuição física: paraa função é uma exponencial de decaimento; a concentração vai diminuindo indefinidamente e tende a zero conforme o tempo cresce.
Passo 5
Caso
:
- Se
, então para todo . - Logo
e .
Intuição física: se a taxafosse zero não há decaimento nem crescimento — a concentração permanece constante igual a .
Caso
:
- Escrevendo
com , tem-se . - Como
, quando . Então . - Consequentemente
, que diverge: se tende a ; se tende a .
Intuição física:corresponde a crescimento exponencial da concentração (modelo não físico para um fármaco normalmente, mas matematicamente é o que ocorre).
Passo 6
Resumo interpretativo e dica de prova:
- Em farmacocinética normalmente
e . Nesse caso conclui-se rapidamente que a concentração decai exponencialmente e . - No enunciado de prova, vale explicar brevemente que se
então e portanto , concluindo que . Se quiser deixar a resposta completa, mencione também os casos e (conforme o passo anterior).
Resposta
Se
]