Exercício 26. A concentração de um medicamento é dada por
C(t)=C e^{-k t}
Explique o comportamento da função quando t \rightarrow \infty.

Passo 1

O enunciado dá a função da concentração do medicamento em função do tempo:
C(t)=C e^{-k t},
e pede para explicar o comportamento dessa função quando t \rightarrow \infty.
Informações relevantes que temos (explicitadas):
  • C é uma constante (valor inicial de concentração quando t=0, já que C(0)=C).
  • k é uma constante (taxa de decaimento; sinal de k não foi explicitado no enunciado).
  • A pergunta é: qual é o comportamento de C(t) quando t\to\infty — isto é, qual é o limite \displaystyle\lim_{t\to\infty}C(t) e o que isso significa para a concentração ao longo do tempo.

Passo 2

Começamos escrevendo o limite que queremos estudar e usando uma propriedade simples de limites (fatorar constantes):
\lim_{t\to\infty} C(t)=\lim_{t\to\infty} C e^{-k t}=C\cdot\lim_{t\to\infty} e^{-k t}.
Explicação da propriedade usada: se C é uma constante e \lim_{t\to\infty} f(t) existe, então \lim_{t\to\infty} C\cdot f(t)=C\cdot\lim_{t\to\infty} f(t). Aqui C não depende de t, por isso pode sair do limite.

Passo 3

Agora analisamos o comportamento de \displaystyle\lim_{t\to\infty} e^{-k t}. É útil reescrever e^{-k t} como
e^{-k t}=\frac{1}{e^{k t}}.
Isto transforma o problema em entender o que acontece com e^{k t} quando t\to\infty. Existem três casos para k: k>0, k=0 e k<0. Vamos estudar cada caso separadamente.

Passo 4

Caso k>0:
  • Se k>0, então k t\to\infty quando t\to\infty, e portanto e^{k t}\to\infty.
  • Como e^{-k t}=\dfrac{1}{e^{k t}}, temos \displaystyle\lim_{t\to\infty} e^{-k t}=0.
  • Aplicando o passo 2, \displaystyle\lim_{t\to\infty} C(t)=C\cdot 0=0.
    Intuição física: para k>0 a função é uma exponencial de decaimento; a concentração vai diminuindo indefinidamente e tende a zero conforme o tempo cresce.

Passo 5

Caso k=0:
  • Se k=0, então e^{-k t}=e^{0}=1 para todo t.
  • Logo \displaystyle\lim_{t\to\infty} e^{-k t}=1 e \displaystyle\lim_{t\to\infty} C(t)=C\cdot 1=C.
    Intuição física: se a taxa k fosse zero não há decaimento nem crescimento — a concentração permanece constante igual a C.
Caso k<0:
  • Escrevendo k=-|k| com |k|>0, tem-se e^{-k t}=e^{|k| t}.
  • Como |k|>0, e^{|k| t}\to\infty quando t\to\infty. Então \displaystyle\lim_{t\to\infty} e^{-k t}=+\infty.
  • Consequentemente \displaystyle\lim_{t\to\infty} C(t)=C\cdot (+\infty), que diverge: se C>0 tende a +\infty; se C<0 tende a -\infty.
    Intuição física: k<0 corresponde a crescimento exponencial da concentração (modelo não físico para um fármaco normalmente, mas matematicamente é o que ocorre).

Passo 6

Resumo interpretativo e dica de prova:
  • Em farmacocinética normalmente C>0 e k>0. Nesse caso conclui-se rapidamente que a concentração decai exponencialmente e \displaystyle\lim_{t\to\infty}C(t)=0.
  • No enunciado de prova, vale explicar brevemente que se k>0 então e^{k t}\to\infty e portanto e^{-k t}\to0, concluindo que C(t)\to0. Se quiser deixar a resposta completa, mencione também os casos k=0 e k<0 (conforme o passo anterior).

Resposta

Se k>0\): \(\displaystyle\lim_{t\to\infty}C(t)=0\). Se \(k=0\): \(\displaystyle\lim_{t\to\infty}C(t)=C\). Se \(k<0\): \(\displaystyle\lim_{t\to\infty}C(t)=\begin{cases}+\infty,&\text{se }C>0,\\[4pt]-\infty,&\text{se }C<0.\end{cases}]

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